巧用反比例函数图像性质解题.docx

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巧用反比例函数图像性质解题

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与反比例函数和性质有关的问题,几乎在每一份中考试题中都可以找到,有基础题、中档题,也有作为选拔功能的综合题,与反比例函数相关问题是活跃在近年来中考中的重要问题。解这类问题时,应充分考虑它的图像性质,也就是它的对称性,这样既能从整体上思考问题,又能提高思维的周密性。

从近几年的中考中,利用反比例函数图像的对称性来求解的题型大概有以下几类:

第一类:反比例函数与正比例函数组成的图形,因为反比例函数的图像关于原点成中心对称,所以利用它的中心对称来解题可以简捷许多。

例1:2009年深圳的中考试题。如图:反比例函数y=-4/x的图像与直线y=-1/3x的交点为A、B,过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C,求△ABC的面积。

分析:①常规解法:先求出A、B两点的坐标,再

求出线段AC、BC的长,最后求△ABC的面积,涉及到解方程组。②利用对称性来解:如果我们利用反比例函数图像性质,设点B的坐标为(a,b),由对称性知道点A的坐标为(-a,-b),∴△ABC的面积=1/2BC×AC=1/2×2ax(-2b)=-2ab∵B在双曲线y=-4/x上∴b=-4/a∴ab=-4∴S△ABC=-2×(-4)=8就不需要求出点A点B的坐标,而且学生也可以口算出结果。

理由:设反比例函数y=-R1/x与正比例函数y=R2x(且R1、R20)相交于A、B两点,由交点的概念可知:y=R1/x与y=R2x的公共解即为A、B两点坐标,即R1/x=R2X,X2=R1/R2

∴x=±■,y=R2·(±■)=±R2■

∴A(■,R2■)则B(-■,R2■)

所以我们可以归纳出这样的结论:若反比例函数y=R1/x与正比例函数y=R2x(R1、R20)相交于A、B两点,若A点坐标为(a,b),则点B的坐标一定是(-a,-b)。

第二类:反比例函数y=R/x(R<0)与形如的一次函数相交的情形。

例如:2007年成都市中考题:已知如图:一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=m/x的图像交于A(-2,1),B(1,n)两点。

(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式。

(2)求△AOB的面积。

分析:常规解法:把A点坐标代入反比例函数y=m/x中求m的值,找出反比例函数的解析式,再将B点坐标代入反比例函数解析式中求出n,从而求出A、B两点坐标,再分别将A、B两点坐标代入一次函数y=kx+b(k≠0)中,求出一次函数解析式。这样让学生容易出错,部分学生同时把A、B两点的坐标都代入反比例函数和一次函数解析式,一看见有很多未知数就无法入手了。

如果我们利用反比例函数图像的性质,图像关于原点成中心对称,知道A点坐标为A(-2,1),则可得B点坐标为(1,-2)这样问题就简化了,直接代入一次函数解析式,也不会出现太多未知数,这样学生就容易多了。

理由是:设y=R1/x(R1<0)与y=-x+b相交于A、B两点,根据题意可知:R1/x=-x+b∴x2-bx+R1=0x1,2=■

y1=■y2=■即A(a,b)则B(b,a)

同样对于y=R1/x(R1<0)与y=x+b也有类似的结论A(a,b)则B(-b,-a)

第三类:反比例函数y=R1/x(R1>0)与一次函数y=R2x+b(R1<0)相交的情形。

例3:如图,在平面直角坐标系中,直线AB与y轴,X轴分别相交于点A、点B,与反比例函数y=R/x相交于点C(1,6)、点D(3,n),过C作CE⊥y轴于E,过点D作DF⊥X轴于F,求证:EC=FB。

分析:常规解法:根据C点坐标求出反比例函数解析式,由反比例函数解析式求出点D坐标,由C、D坐标求出直线AB的解析式,由AB解式析求出点A、点B的坐标,由C点坐标求出CE的长度,由B点坐标和D点坐标可求出BF的长,从而得出EC与FB的关系。实际上,我们可以利用反比例函数图像性质:它是关于是直线y=x成轴对称,可得出AC=BD,可以很快得出△ACE与△BDF全等,就能得出CE=BF,而无需求出一次函数和反比例函数的解析式,简捷快速得多。

总之,利用反比例的图像的性质,利用它的对称性,利用“数形结合”来解题,就会把复杂问题简单化,有利于培养学生分析、解决问题的能力。

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-全文完-

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