第02讲 不等式（7类核心考点精讲精练）原卷版.docxVIP

第02讲不等式（7类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

2024年秋考3题

2024年春考6,13题

一元二次不等式及其应用

基本不等式及其应用，不等式的性质

2023秋考1题

2023春考3题

绝对值不等式

2022秋考14题

2022春考3，19题

基本不等式及其应用

分式不等式，基本不等式及其应用

2021年春考4题

分式不等式

2020年秋考13题

基本不等式及其应用

2.备考策略

1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质

2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系

3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围

知识讲解

一、等式与不等式的性质

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b0?ab，,a－b＝0?a＝b，,a－b0?ab.))

(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)1（a∈R，b0）?ab（a∈R，b0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)1（a∈R，b0）?ab（a∈R，b0）.))

2.等式的性质

(1)对称性：若a＝b，则b＝a.

(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.

(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.

(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.

3.不等式的性质

(1)对称性：a＞b?b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；

(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).

二、均值不等式及其应用

1.均值不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

(3)其中eq\f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为正数a，b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

3.利用均值不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p)(简记：积定和最小).

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(s2,4)(简记：和定积最大).

三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.

2.三个“二次”间的关系

判别式Δ＝b2－4ac

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a＞0)的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

(a＞0)的根

有两相异实根x1，x2(x1＜x2)

有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

ax2＋bx＋c＞0

(a＞0)的解集

eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))

R

ax2＋bx＋c＜0

(a＞0)的解集

{x|x1＜x＜x2}

?

?

3.(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解集

不等式

解集

ab

a＝b

ab

(x－a)·(x－b)0

{x|xa或xb}

{x|x≠a}

{x|xb或xa}

(x－a)·(x－b)0

{x|axb}

?

{x|bxa}

4.分式不等式与整式不等式

(1)eq\f(f(x),g(x))0(0)?f(x)·g(x)0(0).

(2)eq\f(f(x),g(x))≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

考点一．等式与不等式的性质

1．（2024?浦东新区校级模拟）已知，且，则

A． B． C． D．

2．（2023秋?浦东新区校级期末）若，，，，则下列不等式成立的是

A． B． C． D．

3．（2024?崇明区二模）若，，则下列不等式成立的是

A． B． C． D．

4．（2023秋?静安区校级期末）已知，以下不等关系不一定成立的是

A． B．

C． D．

考点二．不等关系与不等式

5．（2024春?宝山区校级期中）