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清华微积分答案

a=?f是向量值函数,可以观察,e与a平行时,f的方向导数最大,

且大小a.e=||a||,称a是f的梯度场

向量值函数的切平面、微分、偏导

f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x)),若所有fi在x0处可微,则称f在x0处

可微,即

f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||),其中

a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在

x0处的jacobian(f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度,

aij:=?fi/?xj)

f的全微分df=adx

当m=n时,f有散度div(f)和旋度curl(f)

div(f)=?.f=?f1/?x1+…+?fm/?xm

复合函数求导

一阶偏导:

若g=g(x)在x0可微,f=f(u)(u=g(x))在g(x0)可微,则f○g在x0处

可微,

j(f○g)=j(f(u))j(g(x))

具体地,对于多元函数f(u)=f(u1,…,um),其中u=g(x)即

ui=g(x1,…,xn)

?f/?xj

=?f/?u*?u/?xj

=sum[?f/?ui*?ui/?xj]{foreachuiinu}

高阶偏导:不要忘记偏导数还是复合函数

例:f(u):=f(u1,u2),u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))

?2f/(?x1)2=数学分析教程p151

隐函数、隐向量值函数

由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数

隐函数:

1.存在定理:若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续,

且?(f)/?(y)(x0,y0)0,则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0),

使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0,即函数f

在b内确定了一个隐函数y=f(x),而且这个隐函数的一阶偏导数也连

注:如果?(f)/?(y)=0,那么在x=x0超平面上,y在x0处取得了极

值,

那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走,y都会减小,

所以y

是双值函数,不是函数

,??)处,2.偏导公式:在b内的(??

????????/??????=???或者说

????????/????=?????不正式的证明:f(x,y)≡0,所以?f/?xi=0,即

sum[?f/?xj*?xj/?xi]=0(把y记做xn+1)

由于x的各分量都是自变量,?xj/?xi=0(ij)

所以?f/?xi+?f/?y*?y/?xi=0

于是立即可得上述公式

隐向量值函数:

1.存在定理:若x∈rn,y∈rm,m维n+m元向量值函数f(x,y)=0,

在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数,f(p0)=0,且?f/?y

可逆,则存在p0的邻域b(x0)*b(y0),使得对于在b(x0)内的任意x,

存在唯一y∈b(y0)满足f(x,y)=0,即f在b内确定了一个连续可微隐

函数y=f(x)

2.偏导公式:

j(f):=?(y1,…,ym)/?(x1,…,xn):=?y/?x

=-[?f/?y]-1*?f/?x

注:1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法,a-1=a*/|a|,a*是a的余子矩阵

的转置

2.如果只求j(f)中的一列,?(y)/?(xi)=-[?(f)/?(y)]-1*

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