2024届吉林省吉林市第一中学高三一模数学（原卷版）.docxVIP

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2024年（21级）吉林一中适应性训练（一）

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（）

A. B. C. D.

2.已知向量，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.统计学中通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布（单位：），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到的最大值为（）

A2 B.4 C.6 D.8

4.投掷6次骰子得到的点数分别为1，2，3，5，6，x，则这6个点数的中位数为4的概率为（）

A. B. C. D.

5.甲?乙?丙?丁?戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（）种不同的情况.

A.18 B.24 C.36 D.48

6.已知圆，过点的直线l与圆O交于B，C两点，且，则（）

A.2 B. C. D.

7.已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

8.设函数，则的大小关系是（）

A. B.

C D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知方程的两个复数根分别为，则（）

A. B.

C. D.

10.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若，，则m与n相交或异面

B.若，，，则

C.若，，则

D.若，，，则m与n平行或相交或异面

11.若x，．且，则（）

A. B.

C. D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若，则________．

13.已知函数图象的一个对称中心为，且在上单调递增，则的最小值为__________.

14.已知抛物线E：的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（A点位于B点右方）.若为的角平分线，则______；直线l的斜率为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（13分）

15.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱底面三角形内接于圆柱底面，已知圆柱的轴截面是边长为6的正方形，，点在线段上运动．

（1）证明：；

（2）当时，求与平面所成角的正弦值．

16.已知的内角的对边分别为，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若为锐角三角形且，求面积的取值范围.

17.某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，.

（1）求和.

（2）若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，

个性化错题本

期末统考中的数学成绩

合计

及格

不及格

建立

未建立

合计

（3）为进一步验证（2）中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为的样本（假设根据新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为（2）中列联表中数据的倍，且新列联表中的数据都为整数）.若要使得依据的独立性检验可以肯定（2）中的判断，试确定的最小值

参考公式及数据：，

0.01

0.005

0.001

6.635

7.879

10.828

18.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，点在上，长轴长与短轴长之比为．

（1）求椭圆的方程．

（2）设为的下顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在线段上．若点在线段上，，证明：．

19.点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线C：上的点作曲线C的切线与曲线C交于，过点作曲线C的切线与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知．

（1）求数列、的通项公式；

（2）记点到直线（即直线）的距离为，求证：；