函数凹凸性定义的进一步研究.docx

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函数凹凸性定义的进一步研究

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孟丽君

【摘要】凹凸函数是一种非常重要的函数,它在最优化理论、泛函分析、不等式证明等方面有重要应用.本文主要以凸函数为主,通过介绍不同凸函数的定义,给出了凸函数定义之间的关系,加深了对凸函数定义的理解,并给出了凸函数的定义在证明不等式中的应用.

【关键词】函数凹凸性;等价;不等式

一、函数凹凸性的定义

在不同数学教材或论文中,函数凹凸性的定义也不完全相同,本文总结出几种常用的定义:

定义1设函数f(x)在区间I上有定义,若x1,x2∈I,λ∈(0,1),有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),(1)

则称f(x)在区间I上是凸函数.

定义2设函数f(x)在区间I上有定义,若x1,x2∈I,有

fx1+x22≤f(x1)+f(x2)2,(2)

则称f(x)在区间I上是凸函数.

定义3设函数f(x)在区间I上有定义,若x1,x2,…,xn∈I,有

fx1+x2+…xnn≤f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n,(3)

则称f(x)在区間I上是凸函数.

定义4设函数f(x)在区间I上有定义,若y=f(x)在区间I上任意点的切线在曲线以下,则称f(x)在区间I上是凸函数.

二、凸函数定义之间关系

上述定义都是凸函数的定义,但并不能说定义1,2,3,4彼此之间完全等价,本文依次梳理上述定义的关系.

定理1定义1定义2.

证明令λ=12,由(1)式很容易得出fx1+x22≤f(x1)+f(x2)2,即定义1定义2,反之则不成立.

定理2定义2定义3.

证明定义3定义2,令(3)式中n=2定义2.重点应该放在证明定义2定义3.

(Ⅰ)由(2)式可知(3)式当n=2时成立.从而x1,x2,x3,x4∈I,有

fx1+x2+x3+x44=fx1+x22+x3+x422≤

fx1+x22+fx3+x422

≤f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)4.

即定义3中(3)式当n=4时成立.以此类推,重复上面步骤,可知(3)式当n=2k时皆成立.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知(3)式对一切n取偶数时成立,现在证明重点由n取偶数时成立推出n取奇数时成立.即只要说明(3)式对n=k+1时成立,也对n=k时成立.

令A=x1+x2+…+xkk,则kA=x1+x2+…+xk,

进而(k+1)A=x1+x2+…+xk+AA=x1+x2+…+xk+Ak+1,

故有f(A)=fx1+x2+…+xk+Ak+1

≤f(x1)+f(x2)+…+f(xk)+f(A)k+1.

上式两边同乘k+1,减去f(A),可得

fx1+x2+…+xkk≤f(x1)+f(x2)+…+f(xk)k,

上式说明(3)式对n=k时成立.

定理3若f(x)连续,则定义1,定义2和定义3等价.

证明重点应该放在证明定义2,定义3定义1.

(Ⅰ)设x1,x2∈I,为证明(1)式对λ∈(0,1)成立.我们先证明λ=mn∈(0,1)为有理数时成立,其中为m,n为自然数,而且mp

f(λx1+(1-λ)x2)

=fmnx1+1-mnx2

=fmx1+(n-m)x2n

=fx1+x1+…+x1m+x2+x2+…+x2n-mn

≤f(x1)+…+f(x1)m+f(x2)+…+f(x2)n-mn

=mf(x1)+(n-m)f(x2)n=mnf(x1)+1-mnf(x2)

=λf(x1)+(1-λ)f(x2).

从而λ为有理数情况下说明定义2,定义3定义1.

(Ⅱ)对λ∈(0,1)的无理数,则存在有理数λn∈(0,1)(n=1,2,…),使得λn→λ(当n→∞时).从而有f(λx1+(1-λ)x2)=f[limn→∞(λnx1+(1-λn)x2)].

由于f(x)连续,上式为

f(λx1+(1-λ)x2)=f[limn→∞(λnx1+(1-λn)x2)]=limn→∞f(λnx1+(1-λn)x2).

由(Ⅰ)可知对于任意有理数λn,有f(λnx1+(1-λn)x2)≤λnf(x1)+(1-λn)f(x2).

(上接40页)

上式两端取极限,得出

limn→∞f(λnx1+(1-λn)x2)≤limn→∞[λnf(x1)+(1-λn)f(x2)]=λf(x1)+(1-λ)f(x2).

从而得出f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).

从而说明λ为无理数情况下定义2,定义3定义1.

定义1适用范围更广,包含了定义2、3,当函数连续时,定义2、3才等价于定义1,但因为不含参数λ∈(0

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