无穷限反常微积分章.pptxVIP

1无穷限的反常积分无界函数的反常积分小结思考题作业4.7反常积分improperintegral第4章定积分与不定积分

2常义积分积分区间有限被积函数有界积分区间无限被积函数无界常义积分的极限广义积分推广

3一、无穷限的反常积分一个固定的点电荷+q产生的电场,当单位正电荷从r=a沿径向移到r=b处时,(k是常数).单位正电荷从r=a移到无穷远时,对场内其它电荷有作用力,由库伦定律知,距q为r单位的正电荷受到的电场力,其方向与径向一致指向外,大小为电场力所作的功称为该电场在这两点处的电位差.电场力所需作的功称为该电场在点a处的电位.

4例试求a、b两点的电位差及a点的电位.解a、b两点的电位差令即得a点处的电位这里计算了一个类似的实例还有:无界域的面积,问题,上限无限增大的定积分的极限.第二宇宙速度电容器放电问题等等.

5定义4.4即当极限存在时,称反常积分当极限不存在时,称反常积分如果极限存在,则称这个极限值反常积分,(1)收敛;发散.

6即当极限存在时,称反常积分当极限不存在时,称反常积分存在,如果极限则称这个极限值广义积分,(2)收敛;发散.

7如果反常积分和都收敛,则称上述两反常积分之和为函数f(x)称反常积分上的反常积分,即收敛;记作发散.否则称反常积分(3)

8注为了方便起见,规定:对反常积分可用如下的简记法使用N--L公式,若F(x)是连续函数f(x)的原函数.这时反常积分的收敛与发散取决于和是否存在.

9例计算反常积分解广义积分的积分值的几何意义

10计算反常积分解练习考研数学(二)填空4分

11已知解练习考研数学(二),填空题,4分因为此反常积分收敛,所以

12证因此收敛,其值为发散.{例证明反常积分

13练习1.计算考研数学(一)填空3分解2.位于曲线下方,x轴上方的无界图形的面积是解考研数学(二)填空3分

143.考研数学(二)填空4分解设

15定义4.5即当极限不存在时,称反常积分则称此极限为函数仍然记为如极限存在,也称反常积分二、无界函数的反常积分(瑕积分)f(x)在(a,b]上的反常积分,收敛;发散.瑕点(1)设f(x)在(a,b]上连续,在a点右邻域内f(x)无界

16否则,则定义如极限存在,(2)瑕点,称反常积分发散.设f(x)在[a,b)上连续,点b为f(x)的

17若等号右边两个反常积分如果则定义否则,就称反常积分发散.都收敛,(3)瑕点反常积分注如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分.通常用瑕点将区间分开,设f(x)在[a,b]上c点为f(x)的

18例计算反常积分解为瑕点,这个反常积分值的几何意义:直线x=0与x=a之位于曲线x轴之上,间的图形面积.之下,因为所以

19注为了方便起见,?由N--L公式,则反常积分规定:?如a为瑕点,如b为瑕点,

20例计算反常积分解故原反常积分发散.

21证{反常积分收敛,其值为反常积分发散.例证明反常积分

22例求解发散.也发散.注错误的做法:因为所以因为所以

23例解注此反常积分经变量代换化成了定积分.n为大于1的正奇数

24并求其值.令例证明解

25

26例解试用分段函数表示

27试用分段函数表示

28考研数学(四)选择题4分练习下列结论中正确的是()

29考研数学(四)选择题4分解所以收敛.所以发散.

30无界函数的反常积分(瑕积分)无穷限的反常积分注意三、小结(1)不要与常义积分混淆;(2)不能忽略内部的瑕点.

31思考题1(选择题)解答f(x)恒等于常数.

32思考题2积分的瑕点是哪几点？解答积分不是瑕点,的瑕点是可能的瑕点是又因为所以因为所以

33作业习题4.7(133页)