斜截面上正应力 (1).doc

工程力学

工程力学

拉压杆斜截面上的应力

实际工程中轴向拉(压)杆的破坏面未必都是横截面，例如铸铁压缩时沿着约与轴向成450的斜截面发生破坏。现在研究轴向拉(压)杆斜截面上的应力情况，仍以拉杆为例分析与横截面成α角的任一斜截面k-k上的应力。

图1

设一等直杆两端分别受到一大小相等的轴向拉力F作用，如图1(a)所示，杆的横截面面积为A，现分析任意斜截面k-k上的应力，截面k-k的方位用它的外法线on与x轴的夹角α表示。斜截面k-k的面积为Aα。用截面法可求得斜截面上的内力为

FNα=F

仿照求横截面上正应力的分析过程，可得斜截面上各点的全应力Pα相等。则有

Pα==

斜截面面积Aα与横截面面积A之间的关系为Aα=，将其代入上式得：

Pα==

式中为横截面上的正应力。

全应力Pα是矢量，可分解成垂直于斜截面的正应力σα和与截面相切的切应力τα，如图1(b)所示，则

式（1）

式中、以杆受拉为正，受压为负；以相对截面内任一点顺时针转动为正，逆时针转动为负；为斜截面k-k’的方位角，从杆轴线到截面外法线方向逆时针转角为正，顺时针转角为负。

拉压杆斜截面上最大正应力及最大剪应力

由式（1）可见，通过拉杆内任意一点的不同斜截面上的正应力和切应力均为角的函数，其数值随角做周期变化；它们的最大值及其所在截面方位，可分别由式（1）得到：

（1）当α=00时，τ0=0；

（2）当α=450时,σ45。=σ，τ45=σ=τmax。

在受力构件内任一点所取的两个相互垂直的截面与截面，用式（1）计算其切应力：

τα=σsin2α

τα+90°=σsin2(α+90°)=-σsin2α=-τα

上式表明，杆件内部某点相互垂直的两个截面上，剪应力必然成对出现，两者数值相等且都垂直于两个截面的交线，其方向则同时指向（或背离）两面交线，这种关系称为切应力互等定理，如图1(c)、（d）所示。