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数学创新题的类型及特征

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近几年高考数学试题越来越重视对数学基本概念及其性质、基本技能和基本方法的考查。当然，高考数学试题对数学“双基”的考查并非为考“双基”而考“双基”，而是将数学这门基础学科作为一个整体，进行综合的考查，要求考生能够运用数学的思想方法，灵活和正确地运用数学知识解决问题。纵观近四年我省高考数学试卷，一直在寻求“双基”与“创新”之间的一个平衡。有许多新颖别致的创新试题，这些试题的编制，是以“双基”为立足点，进行横向类比、纵向加深或陈题开放。这些数学创新题目以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，其背景新颖，运算量不大，但思维容量大，它没有明确的条件或结论，或解题方向不明，自由度大，具有相当大的不确定性，需要通过对问题的观察、分析、类比、归纳等处理过程方能解决，靠“题海战术”和大量的重复操练是无法达到的，是训练和考查学生的数学思维能力、分析问题和解决问题的能力的好题型。

一、探究型创新题

主要考查学生的综合素质与创新精神，是创造力的体现。解答探究型创新题时应注意抓住有限的（或隐含的）题设条件，通过联想创造性地运用知识，设计出解决问题的方法，化归与转化是解决这类问题常用的数学思想。

例1．（2004年高考福建文22）已知f（x）=4x+ax2-x3（x∈R）在区间[-1，1]上是增函数。

（1）求实数a的值组成的集合A。

（2）设关于x的方程f（x）=2x+x3的两个非零实根为x1、x2。试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。

评析：本题的第二问以方程为“外衣”，综合考查不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力。由4x+ax2-x3=2x+x3，得x=0，或x2-ax-2=0。x1、x2是方程x2-ax-2=0的两个非零实根，求出|x1-x2|的最大值为3后，当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立。这样的问题是学生再熟悉不过的问题了。

二、开放型创新题

这类题型主要是指或条件不完备、或结论不明确、或答案不唯一，给学生留有较大探索空间的题目。这一类问题以其复杂多变、形式新、解法活、综合性强、知识覆盖面宽，对灵活选择方法的要求较高，注重考查探索精神和创新意识等特征，而逐渐成为高考一大热点。

例2．（2005年高考福建理16）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于_____对称，则函数g(x)=_____（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）。

评析：把一些比较常规的陈题改编成开放题，是高考数学考查创新能力的又一策略。本例条件不完备，结论也不明确，要求学生把不完整的命题补充完整，并使之成为真命题，给考生解答带来了很大的创造空间。

三、定义信息型创新题

定义信息型创新题是近年来高考中出现频率最高的创新题之一，其主要特征是其背景新颖、构思巧妙，因而备受高考命题专家的垂青。

求解此问题通常分三大步骤进行：

（1）对新定义进行信息提取，确定化归方向。

（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法。

（3）对定义提取的知识进行转换，有效地输出。

在这类问题中，对定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是解题的难点。

例3．（2006高考福建理12）对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x2-x2|+|y1-y2|。

给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||。

②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2。

③在△ABC中，||AC||+||CB||||AB||。

其中真命题的个数为____。

A．0B．1C．2D．3

评析：本题以新定义的“距离”为背景，颇具新意，突出考查考生将新颖的信息通过“形”的角度去理解代数式的意义。这个“距离”实际就是两点横坐标之差的绝对值与这两点纵坐标之差的绝对值的和，由此将题目中的数据全部构造在一个熟悉的直角三角形中，以此为桥梁，对三个选择支逐一判断，即可得到正确答案。这就考查了学生学习数学的潜能和数学解题的基本素养。

随着高中新课程的实施，课程内容在发生变化，高考中考查的内容也会做出相应的调整。近年来高考中出现的探究型、开放型、研究型等数学创新题型，带来了新的数学理念，我们要更加关注高中数学课程改革的进展，汲取新课程中的新思想、新理念，从社会发展对人才的需求、从素质教育的大背景下、从高中新课程改革所进行的