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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)
第05练一元二次不等式及其应用(精练)
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式,了解一元二次不等式的现实意义.
2.结合二次函数的图象,会判断一元二次方程根的个数,以及二次函数的零点与方程根的关系.
3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式.
一、单选题
1.(2023·全国·高考真题)已知集合,,则(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】方法一:由一元二次不等式的解法求出集合,即可根据交集的运算解出.
方法二:将集合中的元素逐个代入不等式验证,即可解出.
【详解】方法一:因为,而,
所以.
故选:C.
方法二:因为,将代入不等式,只有使不等式成立,所以.
故选:C.
【A级?基础巩固练】
一、单选题
1.(2024·北京朝阳·二模)已知集合则(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由题意可得,结合交集的定义与运算即可求解.
【详解】由题意知,,
又,
所以.
故选:B
2.(23-24高三下·云南·阶段练习)已知集合,,则(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】分别求出集合,再根据交集的定义求解即可.
【详解】由题意,,或
所以.
故选:A.
3.(2024·山西·二模)已知集合,,则(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先求出两个集合,再根据交集的定义即可得解.
【详解】或,
,
所以.
故选:D.
4.(2024·全国·模拟预测)已知集合,,则(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】首先解对数不等式求出集合,再解一元二次不等式求出集合,最后根据并集的定义计算可得.
【详解】由得,解得,
所以.
由解得,即,
所以.
故选:B.
5.(23-24高三下·湖南·阶段练习)已知集合,则(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】解集合中的不等式,得到这两个集合,再由交集的定义求解.
【详解】不等式解得,
不等式,即,解得,
可得.
故选:D.
6.(2024高三下·全国·专题练习)已知集合,,则(???)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】计算出集合、后,结合交集与补集的定义即可得.
【详解】由,得,则,则或,
由,得,则,
所以.
故选:C.
7.(23-24高一上·云南昆明·阶段练习)设一元二次不等式的解集为,则的值为(????)
A. B. C.12 D.7
【答案】C
【分析】由一元二次不等式解集求参数,即可得结果.
【详解】由题设是的两个根,且,
所以,故.
故选:C
8.(23-24高三上·山东滨州·期末)若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件,分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】不等式对任意恒成立,则,成立,
而,当且仅当,即时取等号,因此,
所以实数的取值范围是.
故选:B
9.(23-24高三上·河北邢台·阶段练习)“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是()
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】分和两种情况讨论求出的范围,再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当时,恒成立,
当时,则,解得,
综上所述,不等式恒成立时,,
所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.
故选:D.
10.(2024·重庆·模拟预测)已知集合,,若,则a的取值范围为(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据不等式的解法,求得或,分类讨论求得集合,结合,利用集合的运算,即可求解.
【详解】由不等式,解得或,所以或,
又由不等式,
当时,不等式解集为空集,不满足,不符合题意,舍去;
当时,解得,即,
此时不满足,不符合题意,舍去;
当时,解得,即,
要使得,则满足,
综上可得,实数的取值范围为.
故选:A.
二、多选题
11.(23-24高三上·甘肃·阶段练习)下列不等式的解集为的是(????)
A. B.
C. D.(其中是自然对数的底数)
【答案】ABD
【分析】利用一元二次不等式的解法判断ABC;利用指数函数的值域判断D.
【详解】对于A,恒成立,不等式的解集为,A是;
对于B,恒成立,不等式的解集为,B是;
对于C,,则或,不等式的解集不是,C不是;
对于D,函数的值域为,即,,D是.
故选:ABD
12.(23-24高三上·黑龙江·期中)关于的不等式对任意恒成立的充分不必要条件有(????)
A. B.
C. D.
【答案】AB
【分析】先求二次不等式恒成立的充要条件,得解集,则充分不必要条件是集合的非空真子集,验证选项即可.
【详解】当不等式对任意恒成立时,
有,解得,记.
当的取值范围是集合的非
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