第05讲 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（解析版）.docxVIP

第05讲函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性

（13类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

2024年天津卷，第4题,5分

函数奇偶性的定义与判断求含cosx的函数的奇偶性

2023年天津卷，第4题,5分

函数奇偶性的定义与判断判断指数型函数的图象形状识别三角函数的图象(含正、余弦，正切)根据函数图象选择解析式

2022年天津卷，第3题,5分

函数奇偶性的应用函数图像的识别根据解析式直接判断函数的单调性

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度从低到高，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，能够灵活运用函数的各种性质。

2.能掌握函数的性质

3.具备数形结合的思想意识，根据不同函数的性质解决问题

4.会解周期性与对称性的运算.

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给需要灵活结合函数的性质，求解含参，不等式，解析式，求和等各种问题。

知识讲解

知识点一.函数的单调性

1.单调函数的定义

增函数

减函数

定

义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图

象

描

述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

2.单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

注意：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．

(2)单调区间D?定义域I.

(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．

3.函数单调性的等价结论

函数f(x)在区间[a,b]上是增函数：

?任取x1,x2∈[a,b],且x1x2,都有f(x1)-f(x2)0;

?任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f(x

?任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0;

?任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有x1

函数f(x)在区间[a,b]上是减函数：

?任取x1,x2∈[a,b],且x1x2,都有f(x1)-f(x2)0;

?任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f(x

?任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0;

?任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有x

（3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

（4）复合函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

（5）对勾函数（耐克函数）

形如（，且为常数）

在和上为增函数，在和上为减函数.

对勾函数有两条渐近线：一条是轴（，图象无限接近于轴，但不相交），

另一条是直线（当趋近于无穷大时，趋近于0，趋近于，因为，所以）.

4.判断函数单调性的四种方法：

?1?定义法：取值、作差、变形?因式分解、配方、有理化、通分?、定号、下结论.

?2?复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.

?3?图象法：如果f?x?是以图象形式给出的，或者f?x?的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性.

?4?导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.(选修中会学到)

(5)证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法.

易错警示：①求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

②如有多个单调增?减?区间应分别写，不能用“∪”联结.

知识点二.函数的奇偶性

1.函数奇偶性的定义：

奇偶性

偶函数

奇函数

条件

设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I

结论

f(－x)＝f(x)

f(－x)＝－f(x)

图象特点

关于y轴对称

关于原点对称

注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立．

3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：

①f(x)为奇函数?f(-x)＝-f(x)?f(-x)＋f(x)＝0?f(?x)f(x)

②f(x)为偶函数