第05讲 椭圆及其性质（练习）（解析版）.docxVIP

第05讲椭圆及其性质

（模拟精练+真题演练）

1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知离心率为的椭圆的方程为，则（????）

A．2 B． C． D．3

【答案】C

【解析】由题意，，即，

可得，则.

故选：C

2．（2023·福建厦门·统考模拟预测）比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆．如图所示，这个结论在圆柱中也适用．用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内（含边界）有一点，若平行光与桌面夹角为，球的半径为，则点到球与桌面切点距离的最大值为（????）

????

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，如图所示，

则，

所以到球与桌面切点距离的最大值为：

，

，

，

故选：D

3．（2023·青海西宁·统考二模）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

如图，分别与椭圆相切，显然.

所以点在蒙日圆上，

所以，所以，即，

所以椭圆的离心率.

故选：D

4．（2023·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，

设椭圆方程为，

令，即，解得，依题意可得，

所以，所以，所以．

故选：D．

5．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为A，B，C，D，若，则P到x轴的距离为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】中，令得，令得，

不妨设，，，，则A，B为椭圆的焦点，

则，

因为，所以，

又，，

由椭圆定义可知，P点在以，为焦点的椭圆上，

其中，故，，

所以P为椭圆上一点，

由，解得，则，故P到x轴的距离为．

故选：D

6．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（????）

??

A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为

C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18

【答案】D

【解析】由椭圆方程知，，则，离心率为，A正确；

当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和4，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，圆方程为，B正确；

设矩形的边长分别为，因此，即，当且仅当时取等号，所以长方形的面积的最大值是20，此时该长方形为正方形，边长为，C正确，D错误．

故选：D．

7．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且，若为的内心，则面积的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由椭圆的方程可得，，，

设内切圆的半径为，则，

可得，

而，所以，

所以，

所以，

因为，

所以，即．

故选：C．

8．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知椭圆的左?右焦点分别为.若点关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设关于直线的对称点，

由，得．

可知，又知，

所以，则为直角，

由题意，点恰好在上，根据椭圆定义，得，

，设，则，

在直角三角形中，，

解得，从而，

所以.

故选：D．

9．（多选题）（2023·广东韶关·统考模拟预测）曲线C的方程为，则（????）

A．当时，曲线C是焦距为的双曲线

B．当时，曲线C是焦距为的双曲线

C．曲线C不可能为圆

D．当时，曲线C是焦距为的椭圆

【答案】AD

【解析】对于A，当时，方程化为，曲线是焦距为的双曲线，A正确；

对于B，当时，方程化为，

曲线是焦点在y轴上，焦距为的椭圆，B错误；

对于C，当时，曲线表示圆，C错误；

对于D，当时，方程化为，

曲线是焦点在x轴上，焦距为的椭圆，D正确.

故选：AD

10．（多选题）（2023·云南·校联考二模）已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（