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第06讲基本不等式及应用

1、基本不等式：

(1)基本不等式成立的条件：.

(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．

(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．

2、几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．

(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥(a，b同号)．

(3)ab≤(a，b∈R)．

(4)eq\f(a2＋b2,2)≥2(a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

3、利用基本不等式求最值

(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).

(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．

1、【2022年新高考2卷】若x，y满足x2

A．x+y≤1 B．x+y≥?2

C．x2+y

2、【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（???????）

A． B．

C． D．

3、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a0，b0，且a+b=1，则（???????）

A． B．

C． D．

1、在下列函数中，最小值为2的是（）

A. B.

C. D.

2、一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．

3、（2022·山东枣庄·一模）（多选题）已知正数a，b满足，则（???????）

A．的最大值是

B．的最大值是

C．的最小值是

D．的最小值为

4、（2022·江苏南通·模拟预测）（多选题）已知，且.则下列选项正确的是（???????）

A．的最小值为

B．的最小值为

C．

D．

考向一运用基本不等式求函数的最值

例1、(1)已知0x1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．

(2)已知xeq\f(5,4)，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为________．

(3)函数y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x1)的最小值为________．

变式1、已知x1，求y＝eq\f(x2＋2,x－1)的最小值．

变式2、已知x≥1，求y＝eq\f(x2＋2,x＋1)的最小值．

变式3、（1）（2022·江苏泰州·一模）（多选题）下列函数中最小值为6的是（???????）

A． B．

C． D．

（2）（2022·广东惠州·二模）函数有（???????）

A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2

方法总结：(1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解．

(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．

考向二基本不等式中1的运用

例2、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)若正数，满足，则的最小值是（）

A. B. C. D.

变式1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．

变式2、（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（???????）

A． B．9 C． D．2

变式3、（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）正项等比数列中，成等差数列，且存在两项使得，则的最小值是（???????）

A．2 B． C． D．不存在

变式4、（2022·湖南师大附中三模）（多选题）若，，，则的可能取值有（?????）

A． B． C． D．

方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．(3)解决问题时关注对已知条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型

考向三运用消参法解决不等式问题

例3、(2022·江苏淮安市六校第