第07讲 函数与方程（十一大题型）（讲义）（原卷版）.docxVIP

第07讲函数与方程

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：函数的零点与方程的解 4

知识点2：二分法 4

解题方法总结 5

题型一：求函数的零点或零点所在区间 5

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 6

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题 7

题型四：嵌套函数的零点问题 7

题型五：函数的对称问题 9

题型六：函数的零点问题之分段分析法模型 10

题型七：唯一零点求值问题 10

题型八：分段函数的零点问题 11

题型九：零点嵌套问题 12

题型十：等高线问题 13

题型十一：二分法 14

04真题练习·命题洞见 15

05课本典例·高考素材 16

06易错分析·答题模板 17

易错点：不理解函数图象与方程根的联系 17

答题模板：数形结合法解决零点问题 17

考点要求

考题统计

考情分析

（1）零点存在性定理

（2）二分法

2024年II卷第6题，5分

2024年天津卷第15题，5分

2024年甲卷第14题，5分

2023年天津卷第15题，5分

2022年天津卷第15题，5分

2021年天津卷第9题，5分

2021年北京卷第15题，5分

从近几年高考命题来看，高考对函数与方程也经常以不同的方式进行考查，比如：函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题，以选择题、填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活、深刻，值得广大师生关注．

复习目标：

（1）理解函数的零点与方程的解的联系.

（2）理解函数零点存在定理，并能简单应用.

（3）了解用二分法求方程的近似解．

知识点1：函数的零点与方程的解

1、函数零点的概念

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

2、方程的根与函数零点的关系

方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.

3、零点存在性定理

如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.

【诊断自测】已知函数是定义在R上的偶函数且满足，当时，，则函数的零点个数为.

知识点2：二分法

1、二分法的概念

对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.

2、用二分法求函数零点近似值的步骤

（1）确定区间，验证，给定精度.

（2）求区间的中点.

（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）

（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【诊断自测】用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（????）

A．， B．，

C．， D．，

解题方法总结

函数的零点相关技巧：

①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.

②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.

题型一：求函数的零点或零点所在区间

【典例1-1】已知函数则函数的零点个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【典例1-2】函数的一个零点所在的区间是（????）

A． B． C． D．

【方法技巧】

求函数零点的方法：

（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

【变式1-1】定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（????）

A． B． C． D．

【变式1-2】已知函数，，的零点分别为a，b，c，则．

【变式1-3】（2024·高三·山西太原·期中）已知是函数的零点，则.

【变式1-4】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，，则函数的零点是．

【变式1-5】设是函数的一个零点，若且，则下列结论一定错误的是（????）

A． B．

C． D．

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

【典例2-1】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（????）

A． B． C． D．

【典例2-2】（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取