第07讲 函数的单调性与最值（精讲）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

第06讲函数的单调性与最值（精讲）

①函数单调性的判断与证明

②求函数的单调区间

③复合函数的单调性

④函数单调性的应用（求参数、解不等式、比较大小）

⑤求函数的最值（值域）

一、必备知识整合

一、必备知识整合

1.函数的单调性

（1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；

（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有

，那么就说函数在区间上是减函数.

（3）【特别提醒】

①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．

②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．

2.函数的最值

（1）最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

=1\*GB3①对于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得.

那么，我们称是函数的最大值.

（2）最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

=1\*GB3①对于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得.

那么，我们称是函数的最小值.

（3）函数最值存在的两个结论

①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

1.?x1，x2∈D(x1≠x2)，?f(x)在D上是增函数；?f(x)在D上是减函数．

2.对勾函数y＝(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．

3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．

4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．

5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反．

6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．

二、考点分类精讲

二、考点分类精讲

【题型一函数单调性的判断与证明】

1.定义法证明函数单调性的步骤

2.判断函数单调性的四种方法

(1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法．

3.证明函数单调性的两种方法

(1)定义法；(2)导数法．

【典例1】（23-24高一上·陕西汉中·期中）已知函数．

(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；

(2)求函数在区间上的值城．

【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析

(2)．

【分析】（1）利用定义法证明单调性即可；

（2）由函数的单调性求值域即可.

【详解】（1）易知，

设，且，

则，

又由，则，，，

所以，即在区间上单调递增；

（2）由上可知函数在区间上单调递增，则，

又，

故的值域为.

一、单选题

1．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（????）

A．函数在上一定是增函数；

B．函数在上一定不是增函数；

C．函数在上可能是减函数；

D．函数在上不可能是减函数.

【答案】D

【分析】根据函数单调性的定义判断即可.

【详解】因为函数，且成立，

则函数在上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数，

如，满足，但是在上不具有单调性，

故D正确，A、B、C错误.

故选：D

2．（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可判定出结果

【详解】因为函数在上单调递增，且，

由增函数的定义可知，当时，有，

充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾，

若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立.

即对实数，“”是“”的充要条件.

故选：C

二、解答题

3．（23-24高三上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数，

(1)求该函数的定义域；

(2)证明该函数在上单调递减；

(3)求该函数在上的最大值和最小值.

【答案】(1)．

(2)证明见解析

(3)最大值为，最小值为．

【分析】（1）由解析式中分母不为0即可求出结果；

（2）利用单调性的定义直接证明即可；

（3）根据函数单调性可直接求解；

【详解】（1）由于，所以，所以，

即函数的定义域为．

（2）证明：任取,,，且，

则，

因为,,，且，所以，，，

所以，即，

所以函数在,上单调递减．

（3）由（2）知函数在,上单调递减，

所以函数在,上的最大值为，最小值为．

4．（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数过点．

(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；

(2)求函数在上的最大值和最小值．

【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析