满分线性代数（第二版）课件 第2章 行列式.pptx

第二章行列式;第二章行列式;

2.1二阶和三阶行列式;

2.三阶行列式

用符号表示算式

a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32,

称为三阶行列式。图2.1给出了一个计算三阶行列式的对角线法则,也称为沙路法。;

;

例如:;

3.行列式与矩阵的区别

(1)本质不同:行列式的结果是一个数值,而矩阵代表的是一个数表。

(2)符号不同:行列式两边是一对竖杠,矩阵是一对圆括号(或方括号)。

(3)形状不同:行列式的行数与列数一定相等,即行列式一定是“正方形”;而矩阵的行数与列数可以不同。;

(4)数乘运算不同:数k乘行列式D,结果为数k乘到行列式D的某一行(列)中,而数k乘矩阵A,结果为数k乘到矩阵A的每一个元素上。例如:;

(5)“拆分”法则不同:把行列式“拆分”成两个(或两个以上)行列式,只能“拆分”其中的一行(列),而矩阵的“拆分”法则却不同。例如:;;

2.2n阶行列式;

例如:由1、2、3、4、5这5个数字可以组成5!种不同的排列,比如54132就是其中一个排列。计算排列逆序数有不同的方法,图2.2给出一个用“向左看”法求逆序数的示意图:

即分析排列中的每一个数字左边比自己大的数的个数,然后求其和,即为这个排列的逆序数。;;

2.n阶行列式

由n2个数排成n行n列,两边用一对竖线括起来,表示一个算式,记为D,即

式中:τ为排列p1p2…pn的逆序数;∑表示对1,2,…,n的所有排列p1p2…pn取和。;

n阶行列式有以下特点:

(1)共有n!项。

(2)每一项是“不同行、不同列”的n个元素的积(或描述成:“每行每列都有”)。

(3)每一项的正负由元素所在行和列的下标排列的逆序数决定。;

例如,四阶行列式共有4!=24项,每一项都是来自“不同行、不同列”的4个元素的积,如图2.3(a)中圆圈所圈出来的4个元素。首先,按第一、第二、第三、第四行的次序写出这4个元素4、7、12、14,如图2.3(b)所示;其次,分析这4个元素的列号构成的排列4312的逆序数为5,所以这项的值为;

;

2.3简单行列式的计算;

例如:;

2.三角行列式

三角行列式的计算式如下:;

例如:;

3.次(副)对角行列式或三角行列式

次(副)对角行列式或三角行列式的计算式如下:;

例如:;

2.4行列式的性质;

2.换行(列)变号

互换行列式的两行(列),行列式变号。

例如:

这个性质与矩阵的第一种初等变换相对应。;

3.乘数乘行(列)

用数k乘行列式,等于用数k乘行列式的某一行(列)的所有元素。

例如:

这个性质与矩阵的第二种初等变换相对应。;

4.倍加相等

将某行(列)的k倍加到另一行(列),行列式值不变。

例如:

这个性质与矩阵的第三种初等变换相对应。;

5.拆分拆行(列)

一个行列式可以拆分为若干个行列式之和。图2.4给出了一个三阶行列式按第二行拆分的具体实例。需要注意的是,在拆分过程中除某一行以外,行列式的其他行都没有变化。;

6.零性质

(1)当行列式有一行(列)全为零时,这个行列式的值为零。

(2)当行列式有两行(列)完全相等时,这个行列式的值为零。

(3)当行列式有两行(列)对应成比例时,这个行列式的值为零。

图2.5给出为零的三个具体行列式。;

;

2.5行列式按行(列)展开;;

2.行列式展开定理

n阶行列式D等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即

或;

3.行列式展开定理推论

n阶行列式D的任一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即

或;

综合定理和推论有:

或;

行列式的展开定理与推论可以用以下具体示例来说明:

另外,若是第三行元素乘第二行对应的代数余子式,则有;

2.6矩阵的行列式公式;

图2.7给出了一个具体示例。;

2.矩阵积的行列式公式

可以根据分块三角行列式公式来证明矩阵积的行列式公式:

根据以上公式可知,虽然在一般情况下,AB≠BA,

但总有:|AB|=|BA|=|A||B|。;

3.矩阵数乘的行列式公式

根据矩阵数乘定义及行列式的乘数乘行(列)性质,可以得到矩阵数乘的行列式公式为;

2.7伴随矩阵;;

2.伴随矩阵的“母公式”

伴随矩阵的“母公式”为

图2.9给出了