满分线性代数（第二版）课件 第5章 相似矩阵与二次型.pptx

第五章相似矩阵与二次型;第五章相似矩阵与二次型;

5.1特征值与特征向量;

2.特征值及特征向量的求解

(1)求特征值。把λ的n次多项式f(λ)=A-λE称为A的特征多项式,以λ为未知数的一元n次方程A-λE=0称为A的特征方程。求得特征方程A-λE=0的根即为A的特征值。

n阶矩阵A一定有n个特征值(可能有重根,可能有虚根)。

(2)求特征向量。当求得A的特征值后,进一步求解方程组(A-λE)x=0。该方程组的解向量即为A的属于λ的特征向量。

一个特征值对应的特征向量一定有无穷多个。n阶矩阵A最多有n个线性无关的特征向量。;

5.2特征值及特征向量的求解;

;

(2)求特征值:解特征方程A-λE=0,解得λ1=λ2=-2,λ3=6。;

2.三角矩阵和对角矩阵特征值的求解;

5.3特征值的性质及定理

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2.特征值积的性质

矩阵A的所有特征值的积等于矩阵的行列式的值,即;

3.零特征值的性质

根据特征值积的性质,有以下性质:

(1)|A|=0?0是矩阵A的特征值。

(2)|A|≠0?矩阵A的所有特征值均非零。

4.f(λ)与f(A)定理

若λ是矩阵A的特征值,且α是矩阵A属于特征值λ的特征向量,那么有:f(λ)是矩阵f(A)的特征值,α是矩阵f(A)属于特征值f(λ)的特征向量。;

有以下几种特殊情况:;

5.属于不同特征值的特征向量线性无关定理

若λ1,λ2,…,λm是矩阵A的互不相等的特征值,α1,α2,…,αm分别是与之对应的特征向量,则α1,α2,…,αm线性无关。;

把以上m个等式写成矩阵等式,有;

6.特征值的几何重数不大于代数重数定理

(1)特征值的代数重数:若λ0是矩阵A的m重特征值,则称m为特征值λ0的代数重数。

(2)特征值的几何重数:若齐次线性方程组(A-λ0E)x=0基础解系所含解向量的个数是t,则称t为特征值λ0的几何重数。

(3)定理:矩阵A的所有特征值的几何重数都不会超过其代数重数。;;

7.A与AT有相同的特征值定理

n阶矩阵A与其转置矩阵AT有有相同的特征值。;

8.g(A)=O定理

若n阶矩阵A满足g(A)=O,那么A的所有特征值都是方程g(λ)=0的根。

例如,若有A(A+2E)(A-3E)=O,则有|A||A+2E||A-3E|=0,于是|A|=0或|A+2E|=0或|A-3E|=0,所以有A的特征值为0或-2或3,即矩阵A的所有特征值只能在{0,-2,3}中选取。

注意:若n阶矩阵A满足g(A)=O,则A的所有特征值都是方程g(λ)=0的根,但方程g(λ)=0的根不一定都是A的特征值。;

5.4实对称矩阵的特征值与特征向量;

2.属于不同特征值的特征向量正交

若λ1,λ2,…,λm是实对称矩阵A的互不相等的特征值,α1,α2,…,αm分别是与之对应的特征向量,则α1,α2,…,αm两两正交。;

3.代数重数等于几何重数

若A为实对称矩阵,则A的所有特征值的几何重数都等于其代数重数。若λi是对称矩阵A的m重特征值,那么矩阵A属于λi的线性无关特征向量也有m个。

例如,六阶实对称矩阵A的特征值为λ1=3,λ2=λ3=-1,λ4=λ5=λ6=7,那么矩阵A属于特征值λ1=3的特征向量有1个,矩阵A属于特征值λ2=λ3=-1的线性无关特征向量有2个,矩阵A属于特征值λ4=λ5=λ6=7的线性无关特征向量有3个。;

5.5相似矩阵的定义及性质;

2.相似矩阵的性质

(1)相似则等价。根据矩阵等价和相似的定义可知:若A与B相似,则A与B等价。

相似和等价都具有“传递性”性,即:若A与B相似,且B与C相似,则有A与C也相似。

(2)相似则秩相等。若矩阵A与B相似,则A与B等价,所以有R(A)=R(B)。

(3)相似则特征值相等。若矩阵A与B相似,则A与B有相同的特征值。;

证明因为矩阵A与B相似,则存在可逆矩阵P,使P-1AP=B,故;

(4)相似则行列式的值相等。若矩阵A与B相似,则A=B。

因为矩阵A与B相似,所以它们有相同的特征值,而所有特征值的积等于行列式的值,于是有A=B。

(5)相似则迹相等。若矩阵A与B相似,则tr(A)=tr(B)。

因为矩阵A与B相似,所以它们有相同的特征值,而所有特征值的和等于迹,于是有tr(A)=tr