第20讲 三角函数的图像与性质（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第20讲三角函数的图像与性质（精讲）

题型目录一览

①正弦函数的图像与性质

②余弦函数的图像与性质

③正切函数的图像与性质

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(下表中)

(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．

(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．

函数

图象

定义域

值域

周期性

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

递增区间

递减区间

无

对称中心

对称轴方程

无

二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质

1．对称与周期

(1)正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；

(2)正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是；

(3)正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；

2．函数具有奇、偶性的充要条件

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数?φ＝kπ(k∈Z)；

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；

(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；

(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数?φ＝kπ(k∈Z)．

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一正弦函数的图像与性质

【典例1】方程的根中，在内的有（????）

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】方程的解等价于两个函数与图像交点的横坐标，所以分别画出两函数图像，由图即可得出结论.

【详解】如图所示，在区间内|的两个根为和，又因为，所以在区间内|只有一个根.

故选：A.

【典例2】函数在区间上的零点个数为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】利用二倍角余弦公式得，令其为0，解出值，再根据的范围，即可得到零点.

【详解】令，

解得或，

又,

则或或,

则函数在区间上的零点个数为3个.

故选：B.

【题型训练】

一、单选题

1．函数的图象与直线的交点的个数是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】画出以及的图象，由此确定正确答案.

【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数和直线的图象(如图所示)，可得两图象的交点共有4个.

故选：D

2．“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】先判断充分性，再判断非必要性，即得解.

【详解】当时，，所以“”是“”的充分条件；

当时，不一定成立，如，但是，所以“”是“”的不必要条件.

故选：A

【点睛】方法点睛：充分条件必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解.

3．函数最大值为（????）

A．2 B．5 C．8 D．7

【答案】A

【分析】根据正弦函数的图象与性质直接求解.

【详解】时，，

所以，

所以函数最大值为2.

故选:A.

4．函数的零点是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】令，再根据正弦函数的性质即可得解.

【详解】令，则，

所以，

所以函数的零点是.

故选：B.

5．设函数，则（????）

A．在区间上是单调递减的 B．是周期为的周期函数

C．在区间上是单调递增的 D．对称中心为，

【答案】A

【分析】先当时，，又是偶函数，由此可判断命题的真假.

【详解】当时，，在上是单调递减的，故A正确；

是偶函数，无周期性，故B错误；

是偶函数，在单调递减，故C错误；

是偶函数，无对称中心，故D错误；

故选：A

二、多选题

6．函数的图象与直线的交点个数可能是（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】ABCD

【分析】根据和对应的的范围，去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，对分类讨论即可判断．

【详解】解：由题意知，，

，

在坐标系中画出函数的图象如图所示：

由其图象知，当直线，时，，的图象，与直线有且仅有两个不同的交点．

当直线，或时，，的图象，与直线有且仅有三个不同的交点．

当直线，时，，的图象，与直线有且仅有一个不同的交点．

当直线，时，，的图象，与直线无交点．

故选：ABCD．

三、填空题

7．观察正弦函数的图像，可得不等的解集为______．

【答案】

【分析】画出的图像，根据图像确定正确答案.

【详解】画出的图像如下图所示，

由图可知，不等的解集为.

故答案为：

8．函数，的值域是______.

【答案】

【分析】利用整体代换和正弦函数的性质即可求解.

【详解】因为，所以，

所以，

即函数的值域为.

故答案为：.

9．如果方程在上有两个不同的解，则实数a的取值范围是______.

【答案】