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第13练双曲线的几何性质

一、选择题

1．双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1的顶点到渐近线的距离为()

A.eq\f(\r(6),3)B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.eq\r(6)

答案B

解析取双曲线其中一个顶点为(eq\r(3)，0)，一条渐近线为y＝eq\r(2)x，

则顶点到渐近线的距离d＝eq\f(|\r(6)－0|,\r(1＋?\r(2)?2))＝eq\r(2).

2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数eq\f(\r(5)－1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)≈0.618))，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线eq\f(x2,a)－y2＝1是黄金双曲线，则a等于()

A.eq\r(\f(\r(5)－1,2))B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\r(\f(\r(5)＋1,2))D.eq\f(\r(5)＋1,2)

答案B

解析由已知可得eq\r(\f(a＋1,a))＝eq\f(2,\r(5)－1)，解得a＝eq\f(\r(5)－1,2).

3．已知F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为()

A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(6),2)D．2

答案A

解析由题意知F1F2＝2c，△F1PF2是以∠F1PF2为直角的直角三角形，

∴F1P2＋F2P2＝F1Feq\o\al(2,2)，

又根据双曲线的定义得F1P－F2P＝2a，

平方得F1P2＋F2P2－2F1P·F2P＝4a2，

从而得出F1Feq\o\al(2,2)－2F1P·F2P＝4a2，

∴F1P·F2P＝2(c2－a2)，

又△PF1F2的面积等于a2，

即eq\f(1,2)F1P·F2P＝a2，

则c2－a2＝a2，

∴c＝eq\r(2)a，

∴双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).

4．已知ab0，椭圆C1的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，若C1与C2的离心率之积为eq\f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为()

A．x±eq\r(2)y＝0 B.eq\r(2)x±y＝0

C．x±2y＝0 D．2x±y＝0

答案A

解析由题意知椭圆C1的离心率e1＝eq\f(\r(a2－b2),a)，双曲线C2的离心率e2＝eq\f(\r(a2＋b2),a)，

由e1e2＝eq\f(\r(a2－b2),a)·eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)·eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(3),2)，

解得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＝eq\f(1,2)，又ab0，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，

所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±eq\f(\r(2),2)x，

即x±eq\r(2)y＝0.

5．(多选)下列关于双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1的四个说法中正确的是()

A．以实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为eq\r(3)

B．与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1有相同的焦点

C．与双曲线eq\f(y2,2)－x2＝1有相同的渐近线

D．过右焦点的弦长的最小值为4

答案BC

解析由双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1，

可知a＝1，b＝eq\r(2)，c＝eq\r(3)，

故以实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为4×eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝2eq\r(2)，故A错误；

双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1有相同的焦点(±eq\r(3)，0)，故B正确；

双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1与双曲线eq\f(y2,2)－x2＝1有相同的渐近线y＝±eq\r(2)x，故C正确；

设过双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1的右焦点F(eq\r(3)，0)的直线y＝0交双曲线于A，B点，

可得AB＝2，故D错误．

二、填空题

6．已知双