第12练　双曲线的标准方程.docx

第12练双曲线的标准方程

一、选择题

1．双曲线9x2－4y2＝36的一个焦点坐标为()

A．(eq\r(13)，0) B．(0，eq\r(13))

C．(eq\r(5)，0) D．(0，eq\r(5))

答案A

解析双曲线9x2－4y2＝36转化为标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1，

故a2＝4，b2＝9，c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(13)，

故(eq\r(13)，0)是双曲线的一个焦点坐标．

2．已知A(0，－2)，B(0,2)，C(3,2)，动点P满足PA＋AC＝PB＋BC，则点P的轨迹是()

A．椭圆 B．双曲线

C．射线 D．双曲线的一支

答案D

解析PA＋AC＝PB＋BC，即PB－PA＝AC－BC，其中AC＝eq\r(32＋42)＝5，BC＝3，AB＝4.

所以PB－PA＝5－3＝2AB，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支．

3．若椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1与双曲线eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦点，则a的值为()

A．1B.eq\r(2)C．2D．3

答案A

解析因为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1与双曲线eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦点，所以a0，且椭圆的焦点应该在x轴上，所以4－a2＝a＋2，所以a＝－2或a＝1，

因为a0，所以a＝1.

4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2等于()

A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)

答案C

解析由x2－y2＝2，

知a2＝2，b2＝2，c2＝a2＋b2＝4，

∴a＝eq\r(2)，c＝2，

又∵PF1－PF2＝2a，PF1＝2PF2，

∴PF1＝4eq\r(2)，PF2＝2eq\r(2).

又∵F1F2＝2c＝4，

∴由余弦定理得

cos∠F1PF2＝eq\f(?4\r(2)?2＋?2\r(2)?2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq\f(3,4).

5．(多选)若α∈(0，π)，方程x2＋y2cosα＝1表示的曲线可以是()

A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线

答案ACD

解析当α＝eq\f(π,2)，即cosα＝0时，x2＝1，得x＝±1表示垂直于x轴的直线，故A正确；

当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，0cosα1，方程x2＋y2cosα＝1表示椭圆，故C正确；

当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，－1cosα0，

方程x2＋y2cosα＝1表示双曲线，故D正确．

二、填空题

6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线eq\f(y2,m)－eq\f(x2,9)＝1的一个焦点，则m＝________.

答案16

解析由点F(0,5)可知双曲线eq\f(y2,m)－eq\f(x2,9)＝1的焦点落在y轴上，

所以m0，且m＋9＝52，解得m＝16.

7．若动点P与点F1(0,5)与点F2(0，－5)满足PF1－PF2＝6，则点P的轨迹方程为____________．

答案eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1(y≤－3)

解析由PF1－PF2＝6F1F2知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且c＝5,2a＝6，

则a＝3，b2＝16，

故点P的轨迹方程是eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1(y≤－3)．

8．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将双曲线的焦距三等分，则双曲线的标准方程为________________________________．

答案eq\f(y2,9)－eq\f(x2,72)＝1

解析易知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的交点坐标为(0,3)，(0，－3)．

因为圆与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，

所以双曲线的焦点在y轴上，且a＝3，

设双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,b2)＝1(b0)，

又因为A，B两点恰好将双曲线的焦距三等分，

所以c＝9，所以b2＝72，

所以双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,72)＝1.

9．设双曲线C：eq\f(x2,8)－eq\f(y2,m)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线