第31讲 基本立体图形及几何体的表面积与体积（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第31讲基本立体图形及几何体的表面积与体积（精讲）

题型目录一览

①空间几何体的结构特征

②空间几何体的表面积

③空间几何体的体积

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、构成空间几何体的基本元素

（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．

（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．

二、简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台

1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．

（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；

（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；

（7）正方体：棱长都相等的长方体．

2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．

（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；

（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．

3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．

简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．

三、简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球

1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．

2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．

3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．

4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．

四、组合体

由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．

五、表面积与体积计算公式

表面积公式

表面积

柱体

为直截面周长

锥体

台体

球

体积公式

体积

柱体

锥体

台体

球

六、空间几何体的直观图

1．斜二测画法

斜二测画法的主要步骤如下：

（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系．

（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面．

（3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．

（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．

注：直观图和平面图形的面积比为．

2．平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一空间几何体的结构特征

策略方法需要熟悉几何体的基本概念.

【典例1】（单选题）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（????）

A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）

【答案】D

【分析】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可.

【详解】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示；

当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状；

故选：D

【典例2】（单选题）将表面积的圆锥沿母线将侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据圆锥的表面积公式，利用侧面展开图扇形的几何性质，结合弧度的定义以及勾股定理，可得答案.

【详解】设圆锥的母线长为，高为，底面半径为，如下图所示：

??

则圆锥的侧面展开得到的扇形的弧长为，半径为，

由扇形的圆心角为，则，解得，

由圆锥的表面积公式可得其表面积，

由圆锥表面积为，，则，解得，

由勾股定理可得，

已知轴截面的面积.故选：C.

【典例3】（单选题）圆台母线长为3，下底直径为10，上底直径为5，过圆台两条母线作截面，则该截面面积最大值为（????）

A． B． C． D．以上都不对

【答案】C

【分析】求出轴截面时所补成的等腰三角形的顶角的余弦值，则判断其为钝角，再计算出截面积的表达式，得到最值.

【详解】由题意作出轴截面，并将其补充成等腰三角形，

根据，则