第4练　直线与方程的综合问题.docx

第4练直线与方程的综合问题

一、选择题

1．直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()

A.eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)C．－eq\r(3)D．－eq\f(\r(3),3)

答案A

解析设直线l的斜率为k，

则k＝－eq\f(sin30°,cos150°)＝eq\f(\r(3),3).

2．直线ax＋by＋c＝0要同时经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()

A．ab0，bc0 B．ab0，bc0

C．ab0，bc0 D．ab0，bc0

答案A

解析由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线斜率存在，将方程变形为y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(c,b).易知－eq\f(a,b)0且－eq\f(c,b)0，故ab0，bc0.

3．“a＝eq\f(1,4)”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案A

解析由直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直得(a＋1)(a－1)＋3a×(a＋1)＝0，解得a＝eq\f(1,4)或a＝－1.

∴“a＝eq\f(1,4)”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直”的充分不必要条件．

4．已知在△ABC中，顶点A(1,1)，点B在直线l：x－y＋2＝0上，点C在x轴上，则△ABC的周长的最小值为()

A.eq\r(5)B．2eq\r(5)C．4eq\r(5)D.eq\f(5\r(5),2)

答案B

解析设点A关于直线l：x－y＋2＝0的对称点为A1(x1，y1)，点A(1,1)关于x轴的对称点为A2(x2，y2)，连接A1A2交l于B，交x轴于C，

则此时△ABC的周长取最小值，且最小值为A1A2，

∵A1(x1，y1)与A(1,1)关于直线l对称，

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y1－1,x1－1)×1＝－1，,\f(x1＋1,2)－\f(y1＋1,2)＋2＝0，))

解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝3，))

∴A1(－1,3)，

易求得A2(1，－1)，

∴A1A2＝2eq\r(5)，

即△ABC周长的最小值为2eq\r(5).

5．(多选)下列说法中，正确的有()

A．直线3x－y－2＝0在y轴上的截距为－2

B．直线eq\r(3)x－y＋1＝0的倾斜角为120°

C．直线mx＋y＋3＝0(m∈R)必过定点(0，－3)

D．点(5，－3)到直线y＋2＝0的距离为7

答案AC

解析直线3x－y－2＝0中，

当x＝0时，y＝－2，故A正确；

直线eq\r(3)x－y＋1＝0的斜率k＝eq\r(3)，所以倾斜角为60°，故B错误；

直线mx＋y＋3＝0(m∈R)，当x＝0时，y＝－3，所以直线恒过定点(0，－3)，故C正确；

点(5，－3)到直线y＋2＝0的距离d＝|－3－(－2)|＝1，故D错误．

二、填空题

6．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为__________________．

答案4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0

解析①若直线过原点，则k＝－eq\f(4,3)，

所以y＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y＝0.

②若直线不过原点，设eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，即x＋y＝a.

则a＝3＋(－4)＝－1，

所以直线的方程为x＋y＋1＝0.

综上，所求直线的方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.

7．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________.

答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,2)))

解析如图所示，

直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，

当m≠0时，kQA＝eq\f(3,2)，

kPA＝－2，kl＝－eq\f(1,m)，

∴－eq\f(1,m)≤－2或－eq\f(1,m)≥eq\f(3,2)，

解得0m≤eq\f(1,2)或－eq\f(2,3)≤m0；

当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点，

∴实数m的取值范围为－eq\f(2,3)≤m≤eq\f(1,2).

8．对任意的实数λ，点P(－2,2)到直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0