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第38讲复数

1、复数的有关概念

(1)复数的意义：形如z＝a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做实部，b叫做虚部，复数集记作C，数集N、Z、Q、R、C的关系

(2)复数的模：z＝a＋bi，|z|＝eq\r(a2＋b2)．

(3)复数相等：z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1＝z2，则a1＝a2，b1＝b2．

(4)共轭复数：z＝a＋bi，z－＝a－bi；z与z－互为共轭复数．

2、复数的四则运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则．

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)

＝eq\f(（ac＋bd）＋（bc－ad）i,c2＋d2)(c＋di≠0)．

3、复数的几何意义

(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．

(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．

4、复数的几何表示

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．

1、【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|

A．45 B．42 C．25

【答案】D

【解析】因为z=1+i，所以iz+3z

故选：D.

2、【2022年全国甲卷】若z=?1+3i，则

A．?1+3i B．?1?3i C．

【答案】C

【解析】z

z

故选：C

3、【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i

A．a=1,b=?1 B．a=1,b=1 C．a=?1,b=1 D．a=?1,b=?1

【答案】A

【解析】因为a,b∈R，a+b+2ai=2i，所以

故选：A.

4、【2022年全国乙卷】已知z=1?2i，且z+az+b=0，其中a

A．a=1,b=?2 B．a=?1,b=2 C．a=1,b=2 D．a=?1,b=?2

【答案】A

【解析】z

由z+az+b=0,得1+a+b=0

故选:A

5、【2022年新高考1卷】若i(1?z)=1，则z+

A．?2 B．?1 C．1 D．2

【答案】D

【解析】由题设有1?z=1i=ii

故选：D

6、【2022年新高考2卷】(2+2i

A．?2+4i B．?2?4i C．6+2i

【答案】D

【解析】(2+2i

故选：D.

7、（2021·全国高三专题练习（理））已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】，由题意知，则复数对应点的轨迹方程为.

故选：C．

8、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷））

已知，则（）

A. B. C.0 D.1

【答案】A

【解析】因为，所以，即．

故选：A．

9、（2023年全国新高考Ⅱ卷）在复平面内，对应的点位于（）．

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【答案】A

【解析】

因为，

则所求复数对应的点为，位于第一象限.

故选：A.

1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数（其中i为虚数单位，）在复平面内对应的点为，则实数a的值为（）

A．1 B．2 C． D．0

【答案】A

【解析】因为，

又因为复数在复平面内对应的点为，

所以，

解得

故选：A

2、（2022·河北张家口·高三期末）已知，则（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】，

故选：A.

3、（2022·山东枣庄·高三期末）已知为虚数单位，则（）．

A．1 B． C．I D．

【答案】B

【解析】

.

故选：B.

4、（2022·山东德州·高三期末）已知复数z满足，其中为虛数单位，则复数z在复平面内所对应的点在（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】，

则复数z在复平面内所对应的点坐标为，在第一象限.

故选：A

5、（2022·山东临沂·高三期末）已知复数，为虚数单位，则（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

.

故选：C

考向一复数的有关概念

例1、已知复数z＝eq\f(m2－7m＋6,m2－1)＋(m2－5m－6)i(m∈R)，试求实数m分别取什么