沪科版八年级数学上册专项素养综合练(八)构造全等三角形的方法课件.ppt

专项素养综合练(八)构造全等三角形的方法

1.在△ABC中,点E在AC边上,D是AB延长线上一点,DE交BC

于点F.若BD=CE,DF=EF,求证:∠C+∠DBF=180°.类型一作平行线法

证明如图,过点E作EG∥AB,交BC于点G,则∠FEG=∠D.在△FBD和△FGE中,?∴△FBD≌△FGE(ASA),∴∠DBF=∠EGF,BD=EG.∵BD=CE,∴EG=CE,过点E作EH

⊥BC于点H,如图,在Rt△HGE和Rt△HCE中,?∴Rt△HGE≌Rt△HCE(HL),∴∠EGH=∠C,∵∠EGH+∠EGF=180°,∴∠C+∠DBF=180°.

类型二延长构造法2.(2024辽宁大连金州期末)如图,AD∥BC,AE平分∠BAD,BE

平分∠ABC,点E在DC上,求证:AD+BC=AB.证明如图,延长AE,BC交于点F,

∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F.∵AE平分∠BAD,∴∠DAF=∠

BAE,∴∠F=∠BAE.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠FBE,∵BE=BE,∴△ABE≌△FBE(AAS),∴AB=BF,AE=EF.在△ADE与△FCE中,?∴△ADE≌△FCE(ASA),∴AD=CF.∴AB=BF=BC+CF=BC+AD.

类型三倍长中线法3.如图,AD是△ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于点F,且∠

CAD=∠AFE.求证:AC=BF.

证明如图,延长AD到点M,使AD=DM,连接BM.?∵AD是△ABC的中线,∴CD=BD.在△ADC和△MDB中,?∴△ADC≌△MDB(SAS),∴BM=AC,∠CAD=∠M,∵∠CAD=∠AFE,∠AFE=∠

BFD,∴∠BFD=∠CAD=∠M.过点B作BG⊥DM于点G,如图,

则∠BGF=∠BGM=90°.在△BGF和△BGM中,

?∴△BGF≌△BGM(AAS),∴BF=BM,∴AC=BF.

方法归纳????遇到三角形的中线问题,常会延长中线,使延长的线段与

原中线长度相等,构造全等三角形,这种方法称为倍长中线

法.倍长中线法是在证明三角形全等时常用的作辅助线的方

法,具有构造全等三角形,平移线段等作用.用倍长中线法证

明三角形全等的过程:(1)延长已知中线到某点,使新线段(延

长的那部分线段)的长等于已知中线的长;(2)利用“SAS”证

明三角形全等.

类型四截长补短法4.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠B=2∠C,若AC=5,AB=3,

求BD的长.解析如图,在AC上截取AE=AB,连接DE,∵AD平分∠BAC,

∴∠BAD=∠DAC.在△ABD和△AED中,?∴△ABD≌△AED(SAS),∴∠B=∠AED,BD=DE,∵∠B=2∠C,∴∠AED=2∠C.∵∠AED=∠C+∠CDE,∴

∠CDE=∠C.过E作EF⊥BC于F,则∠EFC=∠EFD.∵EF=EF,

∴△EFD≌△EFC(AAS),∴DE=CE,∴BD=EC.∵AC=5,AB=

AE=3,∴BD=CE=AC-AE=2.

方法归纳????截长补短法主要用来证明线段的和差问题.截长法:在较

长的线段上截取一条线段等于要证的两条较短的线段中的

一条,然后证明余下的线段等于另一条较短的线段.补短法:

延长要证的两条较短线段中的一条,使延长后的线段等于较

长线段,再证明延长部分与另一较短线段相等.