《高等数学（第二版）》第7课 定积分 教案.docxVIP

第7课定积分

课题

定积分

课时

4课时（180min）。

教学目标

知识技能目标：

1．了解定积分。

2．通过学习与练习掌握微积分基本公式。

思政育人目标：

让学生通过学习定积分，使各自独立的微分学与积分学联系在一起，促成创造思维，建立数学和用数学解决问题的指导思想。

教学重难点

教学重点：定积分的概念、微积分基本公式、

教学难点：定积分的换元积分法和分部积分法、定积分的应用

教学方法

讲授法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学设计

第1节课：考勤（2min）--知识讲解（40min）--作业布置（3min）

第2节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

第3节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

第4节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

考勤

（2min）

■【教师】清点上课人数，记录好考勤

■【学生】班干部报请假人员及原因

培养学生的组织纪律性,掌握学生的出勤情况

知识讲解

（40min）

【教师】讲解定积分的概念

一、引例

1.曲边梯形的面积

在中学,我们学过求矩形、三角形等以直线为边的图形的面积.但在实际应用中,往往需要求以曲线为边的图形(曲边形)的面积.

设y=f(x)在区间[a,b]上非负连续.在直角坐标系中,曲线y=f(x)、直线x=a、x=b和y=0所围成的图形称为曲边梯形,如图7-1所示.

由于任何一个曲边形总可以分割成多个曲边梯形来考虑,因此,求曲边形面积的问题就转化为求曲边梯形面积的问题.

如何求曲边梯形的面积呢?

我们知道,矩形的面积=底×高,而曲边梯形在底边上各点的高f(x)在区间[a,b]上是变化的,故它的面积不能直接按矩形的面积公式来计算.然而,由于f(x)在区间[a,b]上是连续变化的,在很小一段区间上它的变化也很小,因此,若把区间[a,b]划分为许多个小区间,在每个小区间上用其中某一点处的高来近似代替同一小区间上的小曲边梯形的高,则每个小曲边梯形就可以近似看成小矩形,我们就以所有这些小矩形的面积之和作为曲边梯形面积的近似值.当把区间[a,b]无限细分,使得每个小区间的长度趋于零时,所有小矩形面积之和的极限就可以定义为曲边梯形的面积(图7-2).这个定义同时也给出了计算曲边梯形面积的方法:

(1)分割在区间[a,b]中任意插人n-1个分点,

a=x0x1x2…xn-1xn=b,

把[a,b]分成n个小区间

[x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn],

它们的长度分别为

△x1=x1-x0,△x2=x2-x1,…,△xn=xn-xn-1.

(2)近似过每一个分点,作平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个小曲边梯形.在每个小区间[xi-1,xi]内任取一点ξi,用以[xi-1,xi]为底、f(ξi)为高的小矩形近似代替第i个小曲边梯形(i=1,2,…,n),则第i个小曲边梯形的面积近似为f(ξi)△xi.

(3)求和将这样得到的n个小矩形的面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即

(4)取极限为保证所有小区间的长度趋于零,我们要求小区间长度中最大值趋于零,若记

λ=max(△x1,△x2,…,△xn),

则上述条件可表示为,当λ→0时(这时小区间的个数n无限增多,即n→∞),取上述和式的极限,便得到曲边梯形的面积

2.变速直线运动的路程

在初等物理中,我们知道,对匀速直线运动有下列公式:

路程=速度×时间.

现在我们来考虑变速直线运动:设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时间间隔[T1,T2]上t的连续函数,且v(t)≥0,求物体在这段时间内所经过的路程s.

在这个问题中,速度随时间t而变化,因此,所求路程不能直接按匀速直线运动的公式来计算.然而,由于v(t)是连续变化的,在很短一段时间内,其速度的变化也很小,可近似看作匀速的情形.因此,若把时间间隔划分为许多个小时间段,在每个小时间段内,以匀速运动代替变速运动,则可以计算出在每个小时间段内路程的近似值;再求和,得到整个路程的近似值;最后,利用求极限的方法算出路程的精确值.具体步骤如下:

(1)分割在时间间隔[T1,T2]中任意插人n-1个分点,

T1=t0t1t2…tn-1tn=T2,

把[T1,T2]分成n个小时间段区间[t0,t1],[t1,t2],…,[tn-1,tn],它们的长度分别为

△t1=t1-t0,△t2=t2-t1,…,