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广州市第六中学2023级高一（下）数学期中考试

一．单选题（共8小题，每题5分，共40分）

1．若集合，，，则的子集的个数为

A．1 B．2 C．4 D．8

2．若为虚数单位，复数满足，则的虚部为

A． B． C． D．

3．已知，则

A． B． C． D．6

4．已知向量，则在上的投影向量的坐标为

A． B． C． D．

5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是

A． B．， C． D．，

6．已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为

A． B． C． D．

7．某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原来的，已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为：为正的常数，为原污染物数量）．若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤

A．小时 B．小时 C．5小时 D．小时

8．设函数，若关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为

A． B．16 C． D．17

二．多选题（共3小题，每题6分，共18分，部分选对得部分分，选错不得分）

9．设，，为三个平面，，，为三条直线，则下列说法不正确的是

A．若，，则

B．若上有两点到的距离相等，则

C．，，两两相交于三条直线，，，若，则

D．若，，，，则

10．对于中，有如下判断，其中正确的判断是

A．若，，，则符合条件的有两个

B．若，则为等腰三角形

C．若，则的最小值为

D．点在所在平面且，则点的经过的外心

11．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，为的中点，点满足，，，，则下列结论中正确的是

A．若，则四面体的体积为定值

B．若△的外心为，则为定值2

C．若，则点的轨迹长度为

D．若且，则存在点，使得的最小值为

三．填空题（共3小题，每题5分，共15分）

12．若指数函数过，则（将结果化为最简）

13．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为．

14．已知的三个角，，的对边分别为，，，满足，则．

四．解答题（共4小题，共77分，其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分）

15．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．

（1）判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由；

（2）求三棱锥的体积．

16．已知函数（其中的图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）若将函数的图象上的所有点向右平移，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在有零点，求实数的取值范围．

17．如图，在边长为4的正三角形中，为的中点，为中点，，令，．

（1）试用表示向量；

（2）求的值．

（3）延长线段交于，设，求实数的值．

18．在中，角，，所对的边分别是，，，且满足．

（1）求角；

（2）若，求周长的最大值；

（3）求的取值范围．

19.已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．

(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；

(3)函数表示不超过的最大整数，如．若为的“2024重覆盖函数”，求出正实数的取值范围.