2024-2025学年北京市大峪中学高三上学期开学定位考试数学试卷含详解.docx

北京市大峪中学2024—2025学年度第一学期定位考试卷

数学

2024.09

第一部分（选择题共40分）

一?选择题10小题，每小题4分，共40分?在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知全集，集合，则（）

A. B. C. D.

2.已知复数是纯虚数，则实数（）

A.1 B. C. D.0

3.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增是（）

A. B.

C. D.

4.已知向量，与共线，则=（）

A.6 B.20 C. D.5

5.已知函数，则不等式的解集是（）．

A. B.(?∞,?1)∪(1,+∞)

C D.(?∞,0)∪(1,+∞)

6.若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（）

A. B. C. D.4

7.设，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8.已知等差数列和等比数列，，，，，则满足的数值m（）

A.有且仅有1个值 B.有且仅有2个值 C.有且仅有3个值 D.有无数多个值

9.函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（）

A. B. C. D.

10.如图，正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（）

①三棱锥的体积为定值：

②且线与平面所成的角的大小不变：

③直线与所成的角的大小不变：

④.

A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④

第二部分（非选择题共110分）

二?填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数的定义域是____________．

12.在的展开式中，常数项为______．

13.已知抛物线焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则_____________．

14.已知函数的部分图象如图，，则___________，___________．

15.若函数的图象上存在不同的两点，坐标满足关系：，则称函数与原点关联．给出下列函数：

①；②；③；④．

其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）．

三?解答题共6小题，共85分，解答应写出文宇说明，演算步骤或证明过程.

16.如图，在四棱锥中，平面，，为棱的中点．

（1）求证：//平面；

（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．

17.在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．

（1）求角A的大小；

（2）试从条件①②③中选出两个作为已知，使得存在且唯一，写出你的选择___________，并以此为依据求的面积．(注：只需写出一个选定方案即可)

条件①：；条件②：；条件③：．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18.每年8月8日为我国的全民健身日；倡导大家健康?文明?快乐的生活方式，为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动，为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表：

（1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在50,60的概率；

（2）从参加体育锻炼活动时间在80,90和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为，求随机变量的分布列和数学期望；

（3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中?高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为，.写出一个的值，使得.（结论不要求证明）

19.已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为.

（1）求E的方程；

（2）设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等.

（i）求证：直线与直线的斜率之积为定值；

（ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

20.设函数，其中是自然对数底数.

（1）当时，求函数的极值.

（2）若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围.

（3）设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

21.若有穷自然数数列：满足如下两个性质，则称为数列：

①，其中，表示，这个数中最大的数；

②，其中，表示，这个数中最小的数.

（1）判断：2，4，6，7，10是否为数列，说明理由；

（2）若：数列，且，，成等比数列，求；

（3）证明：对任意数列：，存在