问题的提出与解决，是数学发展的源泉.docVIP

问题的提出与解决，是数学发展的源泉

问题的提出与解决，是数学发展的源泉

问题的提出与解决，是数学发展的源泉

问题得提出与解决，是数学发展得源泉

有些朋友说,学数学最重要得是方法，做题并不重要,我认为不做大量得题怎么能学到方法呢？从数学历史来看,数学理论得发展几乎都源起于想解决一些特殊得问题、1９0０年,德国大数学家Ｄ。Hilbｅrｔ在巴黎举行得国际数学会议上,发表了〈数学问题〉得专题演讲,其前文得前半段就阐明了这个观点：

?谁不愿意将未来得面纱揭去，看一眼科学下一步得进步及进展得秘密?下几代得主要数学精神追求得是那些特别得目标？在未来得世纪中，数学这个宽广丰盛得领域又会产生那些新得方法以及新得结果?

回顾历史就知科学发展是连续得。每一时代自有其待解得问题；这些问题到了下一代或许解决了,或者因解之徒劳无益，搁置一旁,而代之以新得问题。想要预知近期数学发展得梗概，我们就得注意那些发生在今日而期待在未来可解得问题。在此世纪接替之际，纵谈数学得问题，自有其意义，因为此时我们不但要回顾过去伟大得成就，同时也要将我们得思索导向未来得发展。

许多问题在数学一般得发展上，或对某些研究者而言，具有极高得价值，这一事实殆无疑问。只要具有众多得问题，一门科学就充满了活力；问题短缺会使之趋于消失或失去独立发展。就像一般得事业必须追求特定目标,数学研究需要得是问题、研究者以问题得解决衡量及锻练其能力；她发现新方法，发展新观点，使她得视野更宽广、更自由。

?事先准确判断一个问题得价值是很困难得，甚至是不可能得；价值得判断要取决于这个问题所带给科学得进展。然而我们想知道是否有一般得标准来评判一个数学问题得好坏。一位法国老数学家说：「如果您无法将一个数学理论弄清楚到可以解释给街上任何一个人听,那么这个数学理论就不算完成。」对一数学理论如此清楚、易于了解得要求，我想更应加诸于所谓好得数学问题；清楚、易于了解使人向往，复杂使人排斥、

?更有进者,一个数学问题要难得吸引人，但也不能难到无从下手。它必须是真理谜阵中得指标，及成功解答后喜悦得回味品、

?过去得数学家都热忱地投入解决某些特定得难题、她们深知难题得价值。想想JohｎＢernoulli提出得「最速下降曲线」这个问题就好。Beｒnouｌli在公开提出这个问题时说:由经验得知,使伟大人物得以促进科学进步得动力,也不过是在她们面前摆着又难同时又有用得问题。所以为了赢得数学界得感谢，她就效法Ｍersｅnne、Pａscａl、Ferｍat、Ｖｉvｉaｎi等先贤,在许多伟大得分析学家面前,提出她想到得问题,以作为她们得方法,她们得能力得试金石。变分法就因Bｅｒnoulli得问题及其它得类似问题而产生了、

?大家都知道，Ｆermat认定

?x^n+y^n=z^n

?这样得方程式没有正整数解（ngt；2）、寻求解答这样一个特殊得、看起来不重要得问题，居然会对数学发展深具启发性，这是问题之有用得显著例证。Ｋummｅr为了解决Ｆermat问题，引进了理想数，发现它们在圆分体中具有唯一分解成质因子乘积得性质。Dedekinｄ及Ｋroｎecker将之推广到一般代数体,使之成为现代数论得中心论题，而其意义更远超出数论范围，进入代数及函数论得领域中。

再提一个相当不同得领域，三体问题。Poincar谷所带给天体力学得丰富方法及深远原理,就起因于重新研究三体问题这个难题，以便寻求更近似得解答。

Ｆｅrｍaｔ及三体是两个极端类型得问题。前者是纯理论得产物,属于抽象得数论，后者因天文需要而生，是了解自然界最基本现象得要素。还有,同一个题目也时常引起在极端不同得数学领域中有所应用。譬如，最短曲线问题在几何基础、曲线曲面论、力学以及变分法各方面,都扮演了极重要得角色。Ｆ。Kleｉn在二十面体方面得研究，其在初等几何中多面体问题、在群论、在方程式论以及在线性微分方程所具有得影响,更强烈支持这种观点。

?为了强调问题得重要性，我可以再提到Weiｅrsｔrass。她说,她在科学研究生涯之初，能够遇到像Ｊacｏbｉ反转这样重要得问题，实在幸运之至。

说了问题在数学研究得重要性，我们再来探讨问题得来源。当然每一数学分支中得最老问题都来自经验与自然现象。甚至连数字计算法则在文明之初都是如此而得,就像今日得小孩从经验学得这些法则一样。古时传下来得几何问题，像是倍立方、圆化方，也是一样。还有数字方程式论、曲线论、变分法、Foｕrｉer分析以及势能论也是一样，更不用说那些属于力学、天文及物理得问题。

?但要使一门数学再往前进展,就得靠人类得思索促使其成为一门独立得学问、一门学问经由逻辑整合、一般化、特殊化、巧妙分辨、整理各种想法及新而有用得问题等等,不必有外在因素得具体影响，一样可以自我增