高中数学函数的最值(值域)(原卷版).pdfVIP

高中数学专题四函数的最值(值域)

1．最大值与最小值的定义

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x∈I，使得f(x)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大

00

值．

(2)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在x∈I，使得f(x)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小

00

值．

2．常用结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．

考点一单调性法

【方法总结】

利用函数的单调性求最值的方法

如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性(增、减)即可快速求出函数的最值(值域)．

(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y＝f(b)，y＝f(a)．

maxmin

(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y＝f(a)，y＝f(b)．

maxmin

(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)

值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．

(4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者

发展趋势．

x+

(5)在利用单调性求值域时，若定义域有一侧趋近于或，则要估计当或时，函

x

数值是向一个常数无限接近还是也趋近于或(即函数图象是否有水平渐近线)，同样若fx的定义域



抠去了某点或有一侧取不到边界，如xa,b，则要确定当xa时，fx的值是接近与一个常数(即临



界值)还是趋向或（即函数图象是否有竖直渐近线），这样可以使得值域更加准确．



【例题选讲】

x＋2

[例1](1)已知函数f(x)＝，则函数f(x)在x∈[2，8]上的最大值为________．

x

1

x

(2)函数f(x)＝－log(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．

32

2

(3)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当ab时，a⊕b＝b，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－

2，2]的最大值等于()

A．－1B．1C．6