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关于积分上限函数特性的进一步研究
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纪铭
摘要:本文通过例题解析的形式对高等数学中积分上限函数的函数特性(单调性、奇偶性等)进行分析和总结,希望加深学生对积分上限函数的理解和运用。
关键词:积分上限函数单调性奇偶性
积分上限函数是高等数学中一类具有特殊形式的函数,在证明原函数存在定理和牛顿—莱布尼兹公式定理中占有重要地位。同时积分上限函数的函数特性是可以像一般函数一样进行研究,如单调性、奇偶性、极值等。
1.知识准备
定理1如果函数在区间[a,b]上连续,则积分上限函数
在[a,b]上可导,并且它的导数
由这个定理可知,若符号确定,则可以确定的单调性以及极值问题;根据的奇偶性来确定的奇偶性等。
2.例题解析
例1设为上的连续奇函数,且单调增加,则是
(A)单调增加的奇函数(B)单调增加的偶函数
(C)单调减小的奇函数(D)单调减小的偶函数。
【分析】对被积函数作变量替换就有
由于为奇函数,故为偶函数,于是为奇函数;又因为偶函数,从而为奇函数。综上所述为奇函数。
在0与之间,无论还是由单调增加,都有应选C。
例2设试求:
(1)的极值;
(2)曲线的拐点的横坐标;
(3)
【解】(1)因此可知在处取极小值0,且无其他极值。
(2),,当且仅当时,且在两侧变号,即知为曲线的拐点的横坐标。
(3)
3.小结
积分上限函数是以一种新的定义方式出现的函数,在学习难度上较大,但归根结底,积分上限函数作为一般函数,它就自然会涉及关于有界性、单调性、奇偶性、周期性等基本特性的研究。本来只从两个角度单调性和奇偶性进行例题解析,后续会有一些更深入的研究。
參考文献:
[1]数学分析[M]华东师范大学数理系高等教育出版社2001
[2]数学辅导全书(数学一)[M]李正元李永乐范培华中国政法大学出版社2017
[3]高等数学[M]同济大学数学系高等教育出版社2014endprint
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