《数学建模与数据学实验》课件第7章.ppt

图7.7容许曲线图7.5.2国民收入的增长

国民经济收入主要用于两个方面：扩大再生产的积累资金和满足人民生活需要的消费资金。如何安排积累和消费资金的比例使国民收入得到最快增长，是一个重大的理论和实践问题，本节仅从最优控制的角度介绍一个十分简单的模型。7.5.3产品价格的最佳调整

物价管理部门根据市场预测和经济协调发展的需要，决定将A产品的单位价格p(t)由现在的p0=70元调整到pf=100元，并要求各公司自行在一年内完成这一调价任务。某公司经营A产品多年，深知每周A产品的销量S与其价格p和价格变化率p有着密切的关系，因此想利用这种关系制定一个A产品调价方案，使全年经营A产品的总利润最大。请问如何制定这种最佳调价方案。7.6合作对策和风险决策

7.6.1合作型对策

在社会经济活动中，几个实体（个人、公司、党派和国家）相互合作或结盟所能获得的收益往往比他们单独活动所获得的收益多得多。这里，有一个十分关键的问题：如何分享所获总利数。如果不能达成一个各方面都能接受的“公平”的分配原则，合作仍然不能实现。在2.2.4节中，我们给出了效益合理分配的例子，这里从合作对策的角度给予阐述。即合理分配方案为7.6.2风险决策问题

人们在处理问题时，往往面临同时有几种方案可供选择的情况，这就需要人们作出决策。在很多情况下，人们还不能完全肯定未来的自然状态，只能通过一些手段预测自然状态出现的概率，这样在选择最佳方案时就要冒一定风险。此类依据概率的决策为风险决策。下面举例说明。【例7.14】根据水情资料，某地汛期出现平水水情的概率为0.7，出现高水水情的概率为0.2，出现洪水水情的概率为0.1。位于江边的某工地对其大型施工设备拟订三个设置方案：

（1）运走，需支付运费18万元；

（2）俢堤坝保护，需支付修坝费5万元；

（3）不作任何防范，不需任何支出。最小二乘法曲线拟合是实验数据处理的常用方法。最佳平方逼近可以在一个区间上比较均匀地逼近函数且具有方法简单易行、实效性大、应用广泛等特点。但当正规方程阶数较高时，往往出现病态。因此必须谨慎对待并加以巧妙处理。有效方法之一是引入正交多项式以改善其病态性。图7.6拟合曲线图MATH程序：

Clear［X,Y,f,k1,k2］

L={{20.5,765},{32.7,826},{51,873},{73,942},{95.7,1032}};

f=Fit［L,{1,x},x］

k1=ListPlot［L,Prolog-AbsolutePointSize［15］］

k2=Plot［f,{x,20,98}］

Show［k1,k2］

结论：

702.097+3.39874x

当温度t=200℃时，电阻R=702.097+3.39874×200=1381.845。7.5变分法建模

7.5.1变分法简介

变分法是研究泛函极值的一种经典数学方法，有着广泛的应用。这里根据以下列举的控制问题的建模需要，先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。

1.变分法的基本概念

1)容许函数集

容许函数集的满足条件：1.建立递阶层次结构

合理利用企业利润的层次结构图如图7.4所示。图7.4合理利用企业利润的层次结构图2.构造判断矩阵

判断矩阵元素的值反映了人们对因素关于目标的相对重要性的认识，在相邻的两个层次中，高层次为目标，低层次为因素。2)一致性检验如果一个正互反矩阵A满足aij·ajk=aik（i,j,k=1,2,…,n），则A称为一致性矩阵。3)层次总排序

计算同一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的排序权值，称为层次总排序，这一过程是从最高层次向最低层次进行的。若上一层次A包含m个因素A1，A2，…，Am，其层次总排序的权值分别为a1，a2，…，am，下一层次B包含n个因素B1，B2，…，Bn，它们对于因素Aj的层次单排序的权值分别为b1j，b2j，…，bnj(当Bk与Aj无联系时，取Bkj=0)，此时B层次总排序的权值由表7.10给出。总排序的一致性检验：

CI=0.105×0+0.637×0+0.258×0=0，CR=0

对于工厂合理使用企业利润，促进企业发展，