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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)
第06讲函数的概念与表示(精讲)
①函数的判断与相同函数的判断
②给出函数解析式求解定义域
③抽象函数定义域的求法
④函数值域的求法(八大类型)
⑤函数解析式的求法(五大类型)
⑥分段函数
一、必备知识整合
一、必备知识整合
一、函数的概念
(1)一般地,给定非空数集,,按照某个对应法则,使得中任意元素,都有中唯一确定的与之对应,那么从集合到集合的这个对应,叫做从集合到集合的一个函数.记作:,.集合叫做函数的定义域,记为,集合,叫做值域,记为.
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法:函数书写方式为,
(4)函数三要素:定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数:两个函数只有在定义域和对应法则都相等时,两个函数才相同.
二、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数大于或等于零:
(3)对数的真数大于零,底数大于零且不等于1;
(4)零次幂或负指数次幂的底数不为零;
(5)三角函数中的正切的定义域是且;
(6)已知的定义域求解的定义域,或已知的定义域求的定义域,遵循两点:①定义域是指自变量的取值范围;=2\*GB3②在同一对应法则∫下,括号内式子的范围相同;
(7)对于实际问题中函数的定义域,还需根据实际意义再限制,从而得到实际问题函数的定义域.
三、基本初等函数的值域
(1)的值域是.
(2)的值域是:当时,值域为;当时,值域为.
(3)的值域是.
(4)且的值域是.
(5)且的值域是.
五、分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.
提醒:分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
二、考点分类精讲
二、考点分类精讲
【题型一函数的判断与相同函数的判断】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时,才表示同一函数,否则表示不同的函数.
【典例1】(单选题)(23-24高二下·福建三明·阶段练习)下列各组函数相等的是(????)
A., B.,
C., D.,
【答案】D
【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系,即可判断是否为相同函数,进而可得正确选项.
【详解】对于A中,函数的定义域为R,的定义域为,
所以定义域不同,不是相同的函数,故A错误;
对于B中,函数的定义域为R,的定义域为,
所以定义域不同,不是相同的函数,故B错误;
对于C中,函数的定义域为R,与的定义域为,
所以定义域不同,所以不是相同的函数,故C错误;
对于D中,函数与的定义域均为R,
可知两个函数的定义域相同,对应关系也相同,所以是相同的函数,故D正确;
故选:D.
一、单选题
1.(23-24高一上·重庆·期中)已知函数的对应关系如下表所示,函数的图象是如下图所示,则的值为(????)
1
2
3
4
3
A. B.0 C.3 D.4
【答案】D
【分析】观察函数图象得,再利用数表求解即得.
【详解】观察函数的图象,得,由数表得,
所以.
故选:D
2.(22-23高一上·北京西城·期中)下列图象中,不是函数图象的是(????)
A.?? B.??
C.?? D.??
【答案】D
【分析】根据函数的定义,要求定义域内的任意变量只能有唯一的与对应,结合图象判断即可.
【详解】根据函数的定义可知,对应定义域内的任意变量只能有唯一的与对应,
选项ABC中,每一个都有唯一的与对应,满足函数的定义,可以是函数图象,
选项D中,出现两个不同的和同一个对应,所以不满足值的唯一性.
所以D不能作为函数图象.
故选:D.
3.(2023·山东·模拟预测)下列图象中,能表示函数图象的是(????)
??
A.①② B.②③ C.②④ D.①③
【答案】D
【分析】根据函数的定义判断可得出结论.
【详解】解:∵一个只能对应一个,∴①③符合题意,
对于②中,当时,一个对应两个,不符合函数的定义;
对于④中,当时,一个对应两个,不符合函数的定义.
故选:D.
4.(23-24高一上·北京丰台·期中)下列图象中,表示定义域和值域均为的函数是(????)
A.?? B.??
C.?? D.??
【答案】C
【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可.
【详解】选项A:定义域为,但是值域不是故错误;
选项B:定义域不是,值域为,故错误;
选项C:定义域和值域均为,故正确;
选项D:不满足函数的定义,故错误;
故选:C.
5.(23-24高三上·河南濮阳·阶段练习)下列函数中,与函数是同一函数的是(????)
A.
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