满分线性代数（第二版）课件 第4章 向量组的线性相关性.pptx

第四章向量组的线性相关性;第四章向量组的线性相关性;第四章向量组的线性相关性;第四章向量组的线性相关性;第四章向量组的线性相关性;

4.1向量与向量组的概念;

2.向量的线性运算

向量的加法与数乘运算称为向量的线性运算。因为向量就是特殊的矩阵,所以向量运算满足矩阵运算规律。

3.向量组

若干个同维向量构成的一组向量称为向量组。;

4.矩阵与向量组

设m×n矩阵按行分块,可以将A

看作是m个n维行向量构成的向量组;按列分块,可以将A看作是n个m维列向量构成的向量组。

;

例如,3×4的矩阵A既可以看成3个四维行向量,也可以看成4个三维列向量,如图4.1所示。;

5.线性组合与线性表示

设α1,α2,…,αm,β是n维向量组,

若β=k1α1+k2α2+…+kmαm,则称β是α1,α2,…,αm的线性组合,也称β可由α1,α2,…,αm线性表示,其中k1,k2,…,km称为组合系数。

例如,若显然有3α1-2α2=α3,则可以

称α3是α1和α2的线性组合,也可以称α3可由α1和α2线性表示。;

6.n维基本单位向量组

向量组称为n维基本单位向

量组。n阶单位矩阵E的列(行)向量组就是一个n维基本单位向量组。任意n维向量α都可以由基本单位向量组线性表示。;

7.零向量

所有分量全为零的向量称为零向量。零向量可以由任意一个向量组来线性表示。例如:0α1+0ε2+0α3=0。;

4.2向量组间的线性表示;

2.用矩阵等式表述向量组间线性表示

例如:有两个向量组α1,α2,α3和β1,β2。已知β1=α1+α2+α3,β2=2α1-α2+7α3,于是可以有矩阵等式:;

3.一个向量组可以由自己线性表示

任意向量组α1,α2,…,αm总能由自己线性表示,如αi=0α1+…+1αi+…+0αm,i=1,2,…,m。;

4.3线性方程组的五种表示方法;

2.具体矩阵形式

线性方程组的具体矩阵表示形式如下:;

3.抽象矩阵形式

线性方程组的抽象矩阵表示形式如下:

其中:;

4.分块??阵形式

线性方程组的分块矩阵表示形式如下:;

5.向量形式

线性方程组的向量表示形式如下:

例如,非齐次线性方程组可以根据矩阵乘法运算规则写成具体的矩阵形式:;

;

4.4用方程组的向量表示形式来分析线性方程组;

4.5向量组线性相关和线性无关的定义;

2.线性无关

对于向量组α1α2,…,αm,仅当k1=k2=…=km=0时,才有

则称向量组α1α2,…,αm线性无关。;

例如,当有3α1-2α2-α3=0,称

α1,α2,α3线性相关。

例如,当分析向量等式

x1ε1+x2ε2+x3ε3=0,发现只有当x1=x2=x3=0时,等式才成立,则称ε1,ε2,ε3线性无关。;

4.6向量组线性相关性与齐次线性方程组;

2.线性无关

向量组α1,α2,…,αm线性无关?齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xmαm=0只有零解?R(α1,α2,…,αm)=m。

根据以上结论,既可以通过齐次线性方程组Ax=0解的情况来判断系数矩阵A的列向量组的线性相关性,也可以通过矩阵A的列向量组的线性相关性来分析齐次线性方程组Ax=0解的情况。;

4.7向量组线性相关性的形象理解;

2.线性无关定理

向量组α1,α2,…,αm(m≥2)线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。

该定理可描述为:若向量组线性无关,则向量之间一定没有任何线性表示的关系。;

4.8特殊向量组的线性相关性;

2.含有零向量的向量组线性相关

3.只含有一个向量的向量组

(1)若α≠0,则α线性无关。

(2)若α=0,则α线性相关。;

4.含有两个向量的向量组

若两个向量对应元素成比例,则线性相关,否则线性无关。

5.n个n维向量组

可以通过行列式来分析n个n维向量组的线性相关性。

(1)|A|=0?Ax=0有非零解?A的列向量组线性相关。

(2)|A|≠0?Ax=0只有零解?A的列向量组线性无关。;

;

6.m个n维向量(mn)

当mn时,m个n维向量必线性相关。;

4.9向量组的部分与整体定理;

2.线性相关

若向量组T的一部分向量