重点班高三数学一轮复习 第九篇 平面解析几何 第7节 圆锥曲线的综合问题 第三课时 定点 定值 存在性专题课时训练 理-人教版高三数学试题 .pdf

第三课时定点、定值、存在性专题

【选题明细表】

知识点、方法题号

圆锥曲线的定点问题4,5

圆锥曲线的定值问题7

圆锥曲线的存在性问题1,2,3,6

1.在直角坐标系xOy中点M(2,-),点F为抛物线C:y=mx2(m0)的焦点线段MF恰被抛物线

C平分.

⑴求ni的值；

(2)过点M作直线1交抛物线C于A,B两点,设直线FA,FM,FB的斜率分别为kbk2,k3,问

ki,k2,k3能否构成公差不为零的等差数列?若能求出直线1的方程;若不能请说明理由.

解：⑴由题意得抛物线C的焦点F的坐标为(0,土)线段MF的中点N(,£-)在抛物线C

上

所以8m2+2m-=0,

所以m二(m二-舍去).

⑵由⑴知抛物线C:x2=4y,F(0,1).

设直线1的方程为y+=k(x-2),

A(xbyi),B(x2,y2),由卜七-域

If=

得x-4kx+8k+2=0,

A=16k-4(8k+2)0,

所以k〈［「或k〉：.

由根与系数的关系得房捋】3

假设ki,k2,k3能构成公差不为零的等差数列

则ki+k3=2k2.

而ki+k3=^-+^-

1*2

—fyf

1H2

_4£4

所以8k2+10k+3=0,

解得k。(符合题意)或k=-(不合题意,舍去).

所以直线1的方程为y+=-(x-2),

即x+2y-=0.

所以虬k2,k3能构成公差不为零的等差数列此时直线1的方程为x+2y-=0.

2.(郑州模拟)已知动点P到定点F(,0)和到直线x=2的距离之比为乎,设动点P的轨迹为曲

线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点直线1:y=mx+n与曲线E交于C,D

两点,与线段AB相交于一点(与A,B不重合).

(1)求曲线E的方程；

(2)当直线1与圆x2+y2=相切时四边形ACBD的面积是否有最大值.若有求出其最大值及对

应的直线1的方程;若没有请说明理由.

x-1广^^1

解：⑴设点P(x,y),由题意可得号

整理可得+y2=.

曲线E的方程是+y2=.

(2)设C(xi,yi),D(x2,y2),

由已知可得|ab|=v2

当m=0时不合题意.

当m0O时由直线1与圆x2+y2=相切,

可得奇

即m2+=n2.

消去y得(m2+)x2+2mnx+n2-=0,

A=4m2n2-4(m2+)(n2-)=2m20,

-_、二Z

Xi

S四边形ACBD=IAB||X2-xi|=

血5|刑耳2

当且仅当2Im二吉即m二土?时等号成立,

此时n二土经检验可知

直线1的方程为y^x-—或直线y=-—x+—时四边形ACBD的面积最大最大值为£

3.(陕西模拟)已知A是椭圆M:x2+5y2=5与y轴正半轴的交点,F是椭圆M的右焦点过点F的

直线1与椭圆M交于B,C两点.

⑴若|OB|=|OC|,求B,C两点的坐标;

(2)是否存在直线1,使得IAB|二|AC|?若存在求出直线1的方程若不存在,请说明理由.

解：⑴由x2+5y2=5可得+y2=,

所以c二2,

所以F(2,0),A(0,1).

由椭圆的对称性可知满足10B|二10C|的直线1有两种：

①当直线1Lx轴时令x=2,y=±

所以B,C两点的坐标分别为(2*)和(2,-F).

OO

②当直线1与X轴重合时,B,C两点的坐标分别为(v5,0)和(VS,0).

(2)①易知当