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同构思想在解析几何的应用
方法归纳
数学中的同构式是指除了变量不同,而结构相同的表达式,下面提供其理论基础:
①若实数a,b分别满足f(a)=0,f(b)=0,由此a,b可视为方程f(x)=0的两个根.--双切线、斜率和(积)为
定值时,恒过定点问题的核心思路.
②如果A(x,y₁),B(x₂,y₂)满足的方程结构相同,则A,B为方程所表示的曲线上的两点.
1
特别地,若A(x₁,y),B(x₂,y₂)满足ax+by+c=0,ax₂+by₂+c=0,则直线AB的方程为ax+by+c=0.11
--切点弦方程推导的核心思路.
思维点拨:同构思想是数学中代数处理的一种重要思想,其关键在于发现代数式子结构的相似性,对其进行
代数变形的统一构造处理.同构思想在解析几何中的应用非常广泛,比如斜率和、斜率积为定值,恒过定点,
切点弦,双切线等问题,使用同构思想可以大大简化运算,实现数与形的完美结合.
目录:题型归纳
01定点问题
02定值问题
03定比分点问题
04双切线问题
05切点弦问题
01定点问题2
2
xy2
1.已知椭圆E:+=1(ab0)的左、右焦点别为F,F,离心率为,过点F的动直线l交E于
221221
ab
A,B两点,点A在x轴上方,且l不与x轴垂直,△ABF的周长为42,直线AF与E交于另一点C,直
22
线BF与E交于另一点D,点P为椭圆E的下顶点,如图.
2
(1)求E的方程;
1
(2)证明:直线CD过定点.
2
x2
【答案】(1)+y=1
2
(2)证明见解析
【分析】(1)利用椭圆的定义和离心率,求解椭圆方程;
(2)设点Ax,y,Bx,y,Cx,y,Dx,y,AF的方程为y=y1(x-1),联立直线与椭圆的方程,根
112233442
x-11
据韦达定理求出点的坐标,同理得到点的坐标,进而得到直线的方程,根据对称性,如果直线CD过定点,则该
定点在x轴上,即可得到定点坐标.
【解析】(1)由椭圆定义可知AF+AF=2a,BF+BF=2a,
1212
所以△ABF的周长为4a=42,所以a=2,
2
2c2
又因为椭圆离心率为,所以=,所以c=1,
2a2
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