《高等数学（第二版）》第3课 连续函数 教案.docxVIP

第3课连续函数

课题

连续函数

课时

2课时（90min）。

教学目标

知识技能目标：

1．了解连续函数。

2．通过学习与练习掌握连续函数的性质。

思政育人目标：

让学生通过学习连续函数，培养学生在生活中的数学思维，结合实际学习连续性思维方法。

教学重难点

教学重点：连续函数

教学难点：连续函数的性质

教学方法

讲授法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学设计

第1节课：考勤（2min）--知识讲解（40min）--作业布置（3min）

第2节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

考勤

（2min）

■【教师】清点上课人数，记录好考勤

■【学生】班干部报请假人员及原因

培养学生的组织纪律性,掌握学生的出勤情况

知识讲解

（40min）

【教师】讲解连续函数

一、连续函数的概念

定义1如果变量u从它的初值u0变到终值u1,则终值与初值之差u1-u0就叫作变量u的增量,又叫作改变量,记作△u,即

△u=u1-u0.

增量可以是正的,可以是负的,也可以是零.当u1u0时,△u是正的;而当u1u0时,△u是负的.

注：△u是一个完整的记号,不能看作是符号△和变量u的乘积,这里变量u可以是自变量x,也可以是函数y.如果变量是x,则称△x=x1-x0为自变量的改变量;如果变量是y,则称△y=y1-y0为函数的改变量.有时为了方便,自变量x与函数y获得的终值不写成x1和y1,而直接写成x0+△x和y0+△y.

如果函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处有一改变量△x时,函数y的相应改变量则为

△y=f(x0+△x)-f(x0).

其几何意义如图3-1、图3-2所示.

函数y=f(x)在x0连续,表现在图形上指曲线y=f(x)在x=x0邻近是不间断的,如图3-2所示.图3-1所示的曲线则明显不同,容易看到,曲线在x0点是断开的.那么,如何用数学语言来描述这种不同呢?

对比两个图像,我们发现:在图3-2所示图形中,当自变量x的改变量△x→0时,函数的相应改变量△y的绝对值可以无限变小;在图3-1中,当△x0(即x在x0的右侧),函数值有一个突然的改变,显然当△x→0时,△y的绝对值不能够无限变小.于是,我们可以用增量来定义函数的连续性.

定义2假设y=f(x)在点x0处的某个邻域内有定义.如果自变量的改变量△x趋于零时,相应的函数的改变量△y也趋于零,即

则称函数f(x)在点x0处连续.

令x0+△x=x,则当△x→0时,x→x0,定义中的表达式可记为

即

因此,函数y=f(x)在点x0处连续的定义又可以叙述为:

定义3如果函数y=f(x)在点x0处的某个邻域内有定义,且

lim

则称函数f(x)在点x0处连续.

若函数y=f(x)在点x0处有

则分别称y=f(x)在点x0处是左连续或右连续.由此可知,函数y=f(x)在点x0处连续的充要条件是函数在x0处左、右连续.下面我们给出函数在区间上连续的定义.

若函数y=f(x)在开区间(a,b)内的各点均连续,则称f(x)在开区间(a,b)内连续;若函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续,在x=a处右连续且在x=b处左连续,则称f(x)在闭区间[a,b]内连续.

例考查函数f(x)=sinxx

解函数y=f(x)在x=0处有定义,且

故,y=f(x)在x=0处连续.

二、间断点及其分类

由函数f(x)在点x0处连续的定义,可知函数f(x)在点x0处连续,必须同时满足下列三个条件:

(1)函数f(x)在x0处有定义;

(2)limx

(3)limx

如果上述三个条件至少有一个不满足,就有函数f(x)在x0点不连续,则点x0就是函数的间断点.

1.第一类间断点

例讨论符号函数在x=0点是否连续.

解因为

所以所以x=0是y=f(x)的间断点(图3-3).像这样左右极限都存在但不相等的间断点,因为在它的图像上总有个跳跃,所以称为跳跃间断点.

2.第二类间断点

例讨论函数y=tanx在x=π2

解函数y=tanx在x=π2处没有定义,所以点x=π

因为

所以,称这种间断点为无穷间断点.

除第一类间断点以外的其他间断点都称为f(x)的第二类间断点.因此,无穷间断点是第二类间断点.

【学生】思考、讨论。

讲解连续函数，让学生更加了解该函数，从而激发学生的学习欲望。

作业布置（3min）

【教师】布置课后作业

判断下列函数的指定点所属的间断点类型.

通过课后练习，