《高等数学（第二版）》第4课 导数与微分 教案.docxVIP

第4课导数与微分

课题

导数与微分

课时

6课时（270min）。

教学目标

知识技能目标：

1．了解导数与微分。

2．通过学习与练习掌握基本求导法则。

思政育人目标：

让学生通过学习导数与微分，培养运动的思想看待问题，将该思想运用到日常学习当中。

教学重难点

教学重点：导数的概念、基本求导法则、初等函数的导数、高阶导数

教学难点：隐函数与参数求导法则、函数的微分

教学方法

讲授法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学设计

第1节课：考勤（2min）--知识讲解（40min）--作业布置（3min）

第2节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

第3节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

第4节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

第5节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

第6节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

考勤

（2min）

■【教师】清点上课人数，记录好考勤

■【学生】班干部报请假人员及原因

培养学生的组织纪律性,掌握学生的出勤情况

知识讲解

（40min）

【教师】讲解导数的概念

一、两个实例

1.变速直线运动的瞬时速度

一质点做变速直线运动,在时间[0,t]内走过的路程为s=s(t),求质点在t0时刻的瞬时速度.

在时间[0,t0]内质点走过路程是s(t0),在时间[0,t0+△t]内质点走过的路程是s(t0+△t).因此,在△t时间内,质点走过的路程为

△s=s(t0+△t)-s(t0).

如果质点做匀速直线运动,它的速度为

v=△

如果质点做变速直线运动,那么在运动的不同时间间隔内,上述比值会不同,这种变速直线运动的质点在某一时刻t0的瞬时速度应如何求呢?

首先可以求质点在[t0,t0+△t]这段时间内的平均速度v,

当△t很小时,v可作为质点在t0时刻的瞬时速度的近似值.△t越小,这个平均速度就越接近于t0点的瞬时速度,令△t→0,平均速度的极限就是瞬时速度v(t0),

2.切线问题

设曲线方程为y=f(x),在曲线y=f(x)上任取一点M(x0,f(x0)),在曲线上另取一点N(x0+△x,f(x0+△x),连接M和N得到割线MN(图4-1).当点N沿曲线趋于点M时,如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT,则直线MT就称为曲线在点M处的切线.

二、导数的概念

定义设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义,当自变量x在x0处有改变量△x时,函数y相应的有改变量

△y=f(x0+△x)-f(x0),

如果极限

存在,则称函数f(x)在x0处可导.此极限值称为函数f(x)在x0处的导数,记为f(x0),即

如果lim?x→0?y?x不存在,则称函数y=f(x)在x

令x0+△x=x,则当△x→0时,有x→x0,因此函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)也可表示为

根据f(x0)的定义,f(x)在x0处可导的充分必要条件是

及

都存在且相等.这两个极限分别称为f(x)在x0处左导数和右导数,记作f-(x0)及f+(x0),即

如果函数y=f(x)在(a,b)内每点处都可导,则称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导.如果y=f(x)在(a,b)内可导,且在a点处右可导,点b处左可导,则称函数y=f(x)在闭区间[a,b]上可导.

如果函数y=f(x)在区间I中的每一个x点可导(在闭区间的左端点只需右可导,右端点只需左可导),则对于任一x∈I,都对应着f(x)的一个确定的导数值.这样就构成了一个新的函数,这个函数叫作函数y=f(x)的导函数,记作f(x),y,dydx或df(x)

即

或

显然,函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x0处的函数值，即

今后,在不至于发生混淆的地方,把导函数简称为导数.

例设y=C(C为常数),求y.

解记f(x)=C,则

即常函数的导数等于零,C=0.

三、导数的几何意义

前面讲述的切线问题的实例给出了导数的几何意义：函数f(x)在点x0处导数f(x0)是曲线y=f(x)在相应点M0(x0,f(x0)）处切线的斜率,即f(x0)=tanα,其中是切线的倾角(图4-3).

如果f(x)在x0处连续,且其导数为无穷大,这时曲线在M0点切线的倾角a=π2,因而曲线在M0

根据导数的几何意义,可知曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0)）