2.2　直线与圆的位置关系.doc

2.2直线与圆的位置关系

课标要求1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.理解一元二次方程根的判定及根与系数的关系，并能利用它们解一些简单的直线与圆的位置关系问题.

1.思考(1)直线与圆的位置关系有哪几种判定方法？

提示代数法与几何法两种.

(2)如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？

提示转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解.

2.填空直线与圆的位置关系及判断

(直线：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2)

位置关系

相交

相切

相离

公共点个数

2个

1个

0个

判定方法

几何法：设圆心到直线的距离d＝

eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))

dr

d＝r

dr

代数法：由

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))

消元得到一元二次

方程根的判别式Δ

Δ0

Δ＝0

Δ0

图形

温馨提醒(1)采用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离.

(2)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程组解的个数，进一步判断两者的位置关系.

3.做一做直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()

A.相切

B.相交但直线不过圆心

C.直线过圆心

D.相离

答案B

解析圆心到直线的距离d＝eq\f(1,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2)1，

又∵直线y＝x＋1不过圆心(0，0)，∴选B.

题型一直线与圆位置关系的判定

例1已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？

解法一直线与圆的位置关系问题可转化为方程组

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝2，①,y＝x＋b②))

有两组不同实数解；有一组实数解；无实数解的问题.

②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，③

方程③的根的判别式

Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).

当－2b2时，Δ0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；

当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；

当b－2或b2时，Δ0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离.

综上，当－2b2时，直线与圆相交；

当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切；

当b2或b－2时，直线与圆相离.

法二圆心(0，0)到直线y＝x＋b的距离为

d＝eq\f(|b|,\r(2))，圆的半径r＝eq\r(2).

当dr，即eq\f(|b|,\r(2))eq\r(2)时，直线与圆相交，

∴－2b2.

当d＝r，即eq\f(|b|,\r(2))＝eq\r(2)时，直线与圆相切，

∴b＝±2.

当dr，即eq\f(|b|,\r(2))eq\r(2)时，直线与圆相离，

∴b2或b－2.

综上，当－2b2时，直线与圆相交；

当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切；

当b2或b－2时，直线与圆相离.

思维升华直线与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.

(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.

训练1a为何值时，直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100分别有如下关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离？

解法一(代数法)

由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－3y＋a＝0，,x2＋y2＝100))

消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.

Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90000.

(1)当直线和圆相交时，Δ＞0，

即－36a2＋90000＞0，得－50＜a＜50；

(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，

即a＝50或a＝－50；

(3)当直线和圆相离时，Δ＜0，

即a＜－50或a＞50.

法二(几何法)

圆x2＋y2＝100的圆心为(0，0)，半径r＝10，

则圆心到直线的距离d＝eq\f(|a|,\r(（－3）2＋42))＝eq\f(|a|,5).

(1)当直线和圆相交时，d＜r，

即eq\f(|a|,5)＜10，得－50＜a＜50；

(2)当直线和圆相切时，d＝r，

即eq\f(|a|,5)＝10，得a＝50或a＝－50；

(3)当直线和圆相离时，d＞r，

即eq\f(|a|,