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新高二开学摸底考试卷（湖北专用）
数学·答案及评分标准
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1
2
3
4
5
6
7
8
D
D
C
B
C
A
B
A
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9
10
11
AB
ACD
BCD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．
13．
14．
四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）
【答案】（1）平均年龄岁，第80百分位数为；（2）10.
【详解】解：（1）设这人的平均年龄为，则
.（3分）
设第80百分位数为，由，解得.（5分）
（2）由频率分布直方图得各组人数之比为，
故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取人和人，（7分）
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，（9分）
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，（11分）
，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.（13分）
16．（15分）
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由条件可知：
，（3分）
的最小正周期为，令，，解得，，
的对称中心为；（5分）
（2）由正弦定理得，（6分）
由（1），而，得，
，，解得，，又，可得，（8分）
，，（9分）
代入上式化简得：，（11分）
又在锐角中，有，，（13分）
，则有，.（15分）
17．（15分）
【答案】(1)①；②；
(2).
【详解】（1）①若A和B都进入卓越组，则胜者需要赢得优胜组组内比赛的胜利，负者需要赢得奋斗组组内比赛和超越组组内比赛的胜利，
则A和B都进入卓越组的概率为．（3分）
②D参加了四轮比赛并获得冠军的情况有两种：
第一种情况：D在C，D组内比赛获胜，D进入优胜组后进入超越组并获胜，再进入卓越组并获胜，其概率为；（5分）
第二种情况：D在C，D组内比赛后进入奋斗组并获胜，再进入超越组并获胜，最后进入卓越组并获胜，其概率为，（7分）
所以D参加了四轮比赛并获得冠军的概率为．（8分）
（2）A，C进入卓越组且A，C之前赛过一场的情况有两种：
第一种情况：A，C在第一轮比赛中均获胜并进入优胜组，负者进入超越组与D比赛并获胜，其概率为；（11分）
第二种情况：A，C在第一轮比赛中均获胜并进入优胜组，负者进入超越组与B比赛并获胜，其概率为，（13分）
所以A，C进入卓越组且A，C之前赛过一场的概率为．（15分）
18．（17分）
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)存在，.
【详解】（1）连接与，两线交于点，连接，
在中，分别为，的中点，
所以，（2分）
又平面，平面，
所以平面.（4分）
（2）因为底面，平面，所以.（5分）
又为棱的中点，，所以.（6分）
因为，，平面，
所以平面，平面，所以.（7分）
因为，所以.又，
在和中，，
所以，即，
所以，（9分）
又，，平面，
所以平面.（10分）
（3）当点为的中点，即时，平面平面.（12分）
证明如下：设的中点为，连接，，
因为，分别为，的中点，
所以且，（13分）
又为的中点，
所以且，（14分）
所以四边形为平行四边形，故，（15分）
由（2）知：平面，所以平面，又平面，
所以平面平面.（17分）
19．（17分）
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②．
【详解】（1）因为，，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以．（1分）
取的中点，连接，，则，（2分）
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．（3分）
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，（4分）
又因为,，，平面，所以平面．（5分）
（2）①过点作，垂足为．如图所示，
由（1）知，平面．因为平面，所以．
，所以平面，
所以就是与平面所成角的平面角．（6分）
由（1）知，平面，平面，所以．
在中，，，，
因为为的中点，所以．
在中，，
在中，，（8分）
在中，，
所以由同角三角函数的基本关系得．
所以与平面所成角的正弦值为．（10分）
②取的中点为，连接，因为为线段的中点，
所以，（11分）
由（1）知，平面，所以平面，平面．
所以．
过点作
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