1.3　两条直线的平行与垂直.doc

1.3两条直线的平行与垂直

课标要求1.理解两条直线平行与垂直的判定条件.2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题.

一、两条直线平行

1.思考(1)在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？

提示两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补.

(2)平面中的两条平行直线被x轴所截形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？

提示两直线平行，倾斜角相等.

2.填空(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2(k1，k2均存在).

(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).

温馨提醒在判断两条不重合的直线是否平行时，首先判断两条直线的斜率是否存在，若存在且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行.

3.做一做已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)，则直线AB与直线CD()

A.平行 B.垂直

C.重合 D.以上都不正确

答案A

解析由题意知kAB＝eq\f(5－3,2－（－4）)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，∴kAB＝kCD，

又A，B，C，D不共线，∴两直线平行.

二、两条直线垂直

1.思考(1)l1⊥l2?k1k2＝－1成立的条件是什么？

提示两条直线的斜率都存在.

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为－1吗？

提示不一定，当一条直线斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两直线也垂直.

温馨提醒(1)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.

(2)当斜率存在且不为0时，若两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率.

2.填空(1)如图①，若两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2?k1k2＝－1(k1，k2均存在).

(2)如图②，若l1与l2中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直.

(3)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.

题型一两直线平行的判定

例1判断下列各题中直线l1与l2是否平行.

(1)l1的斜率为1，l2经过点P(1，1)，Q(3，3)；

(2)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点C(5，－2)，D(5，5)；

(3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点C(－1，3)，D(2，0)；

(4)l1：x－3y＋2＝0，l2：4x－12y＋1＝0.

解(1)直线l1的斜率k1＝1，直线l2的斜率k2＝eq\f(3－1,3－1)＝1，k1＝k2，

∴l1∥l2或l1与l2重合.

(2)l1与l2都与x轴垂直，通过图象知l1∥l2.

(3)直线l1的斜率k1＝eq\f(0－1,1－0)＝－1，直线l2的斜率k2＝eq\f(0－3,2－（－1）)＝－1，k1＝k2，通过图象知l1∥l2.

(4)法一l1的方程可变形为y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(2,3)，

l2的方程可变形为y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(1,12).

∵直线l1的斜率k1＝eq\f(1,3)，b1＝eq\f(2,3)，直线l2的斜率k2＝eq\f(1,3)，b2＝eq\f(1,12)，

∴k1＝k2且b1≠b2，∴l1∥l2.

法二∵1×(－12)－(－3)×4＝0且1×1－2×4≠0，∴l1∥l2.

思维升华判断两条直线平行的方法

(1)

(2)利用l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).

训练1根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系.

(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；

(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，2eq\r(3))，N(－2，－3eq\r(3)).

(3)l1：x－y＋2＝0，l2：2x－2y＋4＝0.

解(1)由题意知直线l1的斜率k1＝eq\f(5－1,－3－2)＝－eq\f(4,5)，

直线l2的斜率k2＝eq\f(－7－（－3）,8－3)＝