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第
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知识点总结5-2三角函数图象性质
一.三角函数图象
1.(1)用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,0),(π2,1),(π,0)
余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,1),(π2,0),(π,-1)
(2)正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:(下表中k∈Z)
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
2k
2k
(k
递减区间
2k
[2kπ,2kπ+π]
对称中心
(kπ,0)
(k
(
对称轴方程
x=kπ+π
x=kπ
2.函数y=Asin(ωx+φ)(ω0,A0)的图象
(1)y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0),x∈R
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=eq\f(2π,ω)
f=eq\f(1,T)=eq\f(ω,2π)
ωx+φ
φ
(2)用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)一个周期内的简图
用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个如下表所示的特征点:
x
0?
π
π
3
2
ωx+φ
0
π
π
3
2π
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
(3)图象变换:y=sinx向左
横坐标变为原来的
二.函数y=Asin(ωx+φ)(ω0,A0)的图象性质
1.周期性
(1)函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期T=2π
应特别注意:y=|Asin(ωx+φ)|的周期为T=πω,函数y=|Asin(ωx+φ)+b|(b≠0)的周期T=2
(2)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2π
应特别注意:y=|Acos(ωx+φ)|的周期为T=πω.函数y=|Acos(ωx+φ)+b|(b≠0)的周期均为T=2
(3)函数y=Atan(ωx+φ)的周期T=πω
应特别注意:y=|Atan(ωx+φ)|的周期为T=πω,函数y=|Atan(ωx+φ)+b|(b≠0)的周期均为T=π
(4)并非所有周期函数都有最小正周期,例如:.
2.奇偶性
(1)函数y=Asin(ωx+φ)是奇函数?φ=kπ(k∈Z),且当x=0时,f(x)=0;
y=Asin(ωx+φ)是偶函数?φ=kπ+π2(k∈Z);且当x=0时,f(x)取得最大或最小值
(2)函数y=Acos(ωx+φ)是奇函数?φ=kπ+π2(k∈Z
y=Acos(ωx+φ)是偶函数?φ=kπ(k∈Z);
(3)函数y=Atan(ωx+φ)是奇函数?φ=kπ(k∈Z).
3.对称性
(1)函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ=kπ+π2(k∈Z)解得,即x=
对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得,即x=k
(2)函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得,即x=k
对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ+π2(k∈Z)解得,即x=k
(3)函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ2(k∈Z)解得,即
4.单调性与最值
(1)y=Asin(ωx+φ
即:2k
y=Asin(ωx+φ)(ω0)的减区间由解不等式:
即:2k
(2)y=Acos(ωx+φ)(ω0)的递增区间由解不等式:
即增区间为:2k
y=Acos(ωx+φ)(ω0)的递减区间由解不等式:
即:2k
(3)y=Atan(ωx+φ)(ω0)的递增区间由解不等式:
即:(
(4)最值:y=Asin(ωx+φ)
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