三角函数图象性质知识点总结 高三数学一轮复习.docxVIP

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知识点总结5-2三角函数图象性质

一.三角函数图象

1.(1)用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,0),(π2,1),(π,0)

余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,1),(π2,0),(π,-1)

(2)正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:(下表中k∈Z)

函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

图象

定义域

R

R

值域

[-1,1]

[-1,1]

R

周期性

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

递增区间

2k

2k

(k

递减区间

2k

[2kπ,2kπ+π]

对称中心

(kπ,0)

(k

(

对称轴方程

x=kπ+π

x=kπ

2.函数y=Asin(ωx+φ)(ω0,A0)的图象

(1)y=Asin(ωx+φ)的有关概念

y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0),x∈R

振幅

周期

频率

相位

初相

A

T=eq\f(2π,ω)

f=eq\f(1,T)=eq\f(ω,2π)

ωx+φ

φ

(2)用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)一个周期内的简图

用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个如下表所示的特征点:

x

0?

π

π

3

2

ωx+φ

0

π

π

3

y=Asin(ωx+φ)

0

A

0

-A

0

(3)图象变换:y=sinx向左

横坐标变为原来的

二.函数y=Asin(ωx+φ)(ω0,A0)的图象性质

1.周期性

(1)函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期T=2π

应特别注意:y=|Asin(ωx+φ)|的周期为T=πω,函数y=|Asin(ωx+φ)+b|(b≠0)的周期T=2

(2)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=2π

应特别注意:y=|Acos(ωx+φ)|的周期为T=πω.函数y=|Acos(ωx+φ)+b|(b≠0)的周期均为T=2

(3)函数y=Atan(ωx+φ)的周期T=πω

应特别注意:y=|Atan(ωx+φ)|的周期为T=πω,函数y=|Atan(ωx+φ)+b|(b≠0)的周期均为T=π

(4)并非所有周期函数都有最小正周期,例如:.

2.奇偶性

(1)函数y=Asin(ωx+φ)是奇函数?φ=kπ(k∈Z),且当x=0时,f(x)=0;

y=Asin(ωx+φ)是偶函数?φ=kπ+π2(k∈Z);且当x=0时,f(x)取得最大或最小值

(2)函数y=Acos(ωx+φ)是奇函数?φ=kπ+π2(k∈Z

y=Acos(ωx+φ)是偶函数?φ=kπ(k∈Z);

(3)函数y=Atan(ωx+φ)是奇函数?φ=kπ(k∈Z).

3.对称性

(1)函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ=kπ+π2(k∈Z)解得,即x=

对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得,即x=k

(2)函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得,即x=k

对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ+π2(k∈Z)解得,即x=k

(3)函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ2(k∈Z)解得,即

4.单调性与最值

(1)y=Asin(ωx+φ

即:2k

y=Asin(ωx+φ)(ω0)的减区间由解不等式:

即:2k

(2)y=Acos(ωx+φ)(ω0)的递增区间由解不等式:

即增区间为:2k

y=Acos(ωx+φ)(ω0)的递减区间由解不等式:

即:2k

(3)y=Atan(ωx+φ)(ω0)的递增区间由解不等式:

即:(

(4)最值:y=Asin(ωx+φ)

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