函数概念知识点总结 高三数学一轮复习.docxVIP

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知识点总结3-1函数概念

一．函数的概念

1．定义

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

注：函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.

2．函数的三要素

(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(函数问题定义域优先)

(2)相同函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数．

3．函数的表示法：解析法、图象法和列表法．

4．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

5.复合函数

如果函数y=f(t)的定义域为A,函数t=g(x)的定义域为B,值域为C,则当C?A时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在B的复合函数，

其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.

提示：①内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集.

②函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.

常用结论

1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．

2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．

3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

二．求函数定义域时常用限制条件：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；

(1)分式的分母不为零；

(2)偶次方根的被开方数大于或等于零：

(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

(4)零次幂或负指数次幂的底数不为零；

(5)三角函数中的正切的定义域是且x≠kπ+π2

(6)①若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；

②已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈a,b)的值域.

(7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．

三．函数的值域

1.求函数的值域(最值)的常用方法

(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．

(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．

(3)数形结合法．

(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”．

(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式．

2.基本初等函数的值域

(1)的值域是．

(2)的值域是：当时，值域为4ac?b24a,+∞)；当

(3)y=kx(k

(4)且的值域是．

(5)且的值域是．

3.区间：设a,b∈R，且

集合

区间名称

符号表示

数轴表示

{x|a≤x≤b}

闭区间

[a，b]

{x|axb}

开区间

(a，b)

{x|a≤xb}

左闭右开区间

[a，b)

{x|ax≤b}

左开右闭区间

(a，b]

{x|x≥a}

[a，＋∞)

{x|xa}

(a，＋∞)

{x|x≤a}

(－∞，a]

{x|xa}

(－∞，a)

R

(－∞，＋∞)

4.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

(3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．