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随机变量的数字特征

3.1数学期望

一.数学期望的定义

例1设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：

分数4060708090100

人数1691572

则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即

数学期望——描述随机变量取值的平均特征

定义1.若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…n,则称

定义2.(p73)若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,且

为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。

，则称

为r.v.X的数学期望

例2掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。

定义3若X~f(x),-x,

为X的数学期望。P(74)

则称

例3.若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为

试求E(X).

解

二.几个重要r.v.的期望

1.0-1分布的数学期望

EX=p

2.二项分布B(n,p)

3.泊松分布

4.均匀分布U(a,b)

5.指数分布

6.正态分布N(,2)

EX1：设随机变量X的分布律为

解:

求随机变量Y=X2的数学期望

X

Pk

-101

Y

Pk

10

三.随机变量函数的期望

定理1若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,则Y=g(X)的期望E(g(X))为(p77)

推论:若(X,Y)~P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,则Z=g(X，Y)的期望

例4设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)

解:

解：Y=ax+b关于x严单，反函数为

Y的概率密度为

EX2：设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量

Y=aX+b的数学期望(其中a0)

(p77)定理2若X~f(x),-x,则Y=g(X)的期望

推论若(X,Y)~f(x,y),-x,-y,则Z=g(X,Y)的期望

例2长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间

解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则

=10分25秒

设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)

1.E(c)=c,c为常数;

2。E(cX)=cE(X),c为常数;

四.数学期望的性质(P78)

证明:设X~f(x),则

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);

证明:设(X,Y)~f(x,y)

4.若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).

证明:设(X,Y)~f(x,y)

例2.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数

解:设Xj为第j组的化验次数，

Xj

Pj

1101

X为1000人的化验次数，则

例3若X~B(n,p),求E(X)

解:设

第i次试验事件A发生

第i次试验事件A不发生

则

EX1设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量

U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望

EX2设随机变量

相互独立，且均服从

分布，求随机变量

的数学期望

答:

答:

3.2方差

一.定义与性质

方差是衡量随机变量取值波动程度

的一个数字特征。

如何定义？

1.(p82)定义若E(X),E(X2)存在，则称

E[X-E(X)]2

为r.v.X的方差，记为D(X),或Var(X).

称 为r.v.X的标准差

可见

2.推论D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

证明:D(X)=E[X-E(X)]2

例1：设随机变量X的概率密度为

1)求D（X）,2)求

3.方差的性质

(1)D(c)=0

反之，若D（X）=0，则存在常数C，使P{X=C}=1,且C=E(X);

(2)D(aX)=a2D(X),a为常数；

证明:

(3)若X，Y独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);

证明:

X与Y独立

1.二项分布B(n,p)：

二.几个重要r.v.的方差(P86)

解法二:

设

第i次试验事件A发生

第i次试验事件A不发生

则

2.泊松分布p(