第04讲 指数与指数函数（讲义）（解析版）.docxVIP

第04讲指数与指数函数

目录

考点要求

考题统计

考情分析

（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.

（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.

（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．

2022年甲卷第12题，5分

2020年新高考II卷第11题，5分

从近五年的高考情况来看,指数运算与指数函数是高考的一个重点也是一个基本点,常与二次函数、幂函数、对数函数、三角函数综合,考查数值大小的比较和函数方程问题.

1、指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．

(2)根式的性质：

当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.

当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数幂的分类

①正整数指数幂；②零指数幂；

③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．

(5)有理数指数幂的性质

①，，；②，，；

③，，；④，，．

2、指数函数

图象

性质

①定义域，值域

②，即时，，图象都经过点

③，即时，等于底数

④在定义域上是单调减函数

在定义域上是单调增函数

⑤时，；时，

时，；时，

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【解题方法总结】

1、指数函数常用技巧

(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．

(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．

当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．

(3)指数函数与的图象关于轴对称．

【典例例题】

题型一：指数运算及指数方程、指数不等式

【例1】（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】.

故选：B.

【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（?????）

A．设则 B．若，则

C．若，则 D．

【答案】B

【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误；

对于B，，故，选项B正确；

对于C，，，因为，所以，选项C错误；

对于D，，选项D错误.

故选：B．

【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】.

故选：B

【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）甲?乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（????）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】D

【解析】令，则方程可化为，甲写错了常数b，

所以和是方程的两根，所以，

乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，

则可得方程，解得，

所以原方程的根是或

故选：D

【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】方程有解，

有解，

令，

则可化为有正根，

则在有解，又当时，

所以，

故选：．

【对点训练5】（2023·上海青浦·统考一模）不等式的解集为______．

【答案】

【解析】函数在R上单调递增，则，

即，解得，

所以原不等式的解集为.

故答案为：

【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.

【答案】

【解析】由，可得.

令，

因为均为上单调递减函数

则在上单调逆减，且，

，

故不等式的解集为.

故答案为：.

【解题总结】

利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.

题型二：指数函数的图像及性质

【例2】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（????）

A．B．C． D．

【答案】ABD

【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.当时，，图象A满足；

当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；

当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；

图象C过点，此时，故C不成立.

故选：ABD

【对点训练7】（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为R，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】∵的定义域为R，

∴0对任意x∈R恒成立，

即恒成立，

即对任意恒成立，

，则．

故答案为．

【对点训练8】（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______．

【答案】

【解析】令，∵，∴，

∴，

又关于对称，开口向上，所以