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泰勒公式与麦克劳林公式推导证明--第1页
泰勒公式与麦克劳林公式推
导证明
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泰勒公式与麦克劳林公式推导证明--第1页
泰勒公式与麦克劳林公式推导证明--第2页
泰勒公式及麦克劳林公式推导证明
麦克劳林公式是泰勒公式(在x。=0下)的一种特殊形式。
若函数f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展
开为一个关于x多项式和一个余项的和:
f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)/2!·x^2,+f(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn
其中Rn是公式的余项,可以是如下:
1.佩亚诺(Peano)余项:
Rn(x)=o(x^n)
2.尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项:
Rn(x)=f(n+1)(θx)(1-θ)^(n+1-p)x^(n+1)/(n!p)
[f(n+1)是f的n+1阶导数,θ∈(0,1)]
3.拉格朗日(Lagrange)余项:
Rn(x)=f(n+1)(θx)x^(n+1)/(n+1)!
[f(n+1)是f的n+1阶导数,θ∈(0,1)]
4.柯西(Cauchy)余项:
Rn(x)=f(n+1)(θx)(1-θ)^nx^(n+1)/n!
[f(n+1)是f的n+1阶导数,θ∈(0,1)]
5.积分余项:
Rn(x)=[f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n!
[f(n+1)是f的n+1阶导数]
泰勒公式
在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果
函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式
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可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
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泰勒公式(Taylorsformula)
带Peano余项的Taylor公式
(Maclaurin公
式):可以反复利用LHospital法则来推导,
f(x)=f(x0)+f(x0)/1!*(x-x0)+f(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n)(x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
泰勒中值定理(带拉格郎日余项的泰勒公式):若函数f(x)在含有x的开区间(a,
b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一
个余项的和:
f(x)=f(x0)+f(x0)*(x-x0)+f(x0)/2!*(x-x0)^2,+f(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!*(x-
x0)^n+Rn(x)
其中Rn(x)=
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