第11练　直线与椭圆的位置关系.docx

第11练直线与椭圆的位置关系

一、选择题

1．已知直线x－2y＋4＝0经过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为()

A.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,4)＝1

C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1

答案B

解析直线x－2y＋4＝0与x轴的交点为A(－4,0)，与y轴的交点B(0,2)，

故椭圆的一个焦点为F(－4,0)，短轴的一个顶点为B(0,2)，

故在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中，c＝4，b＝2，

则a＝eq\r(20)，

故这个椭圆的标准方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,4)＝1.

2．已知P是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上的动点，则点P到直线l：x＋y－2eq\r(5)＝0的距离的最小值为()

A.eq\f(\r(10),2)B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(\r(10),5)D.eq\f(\r(2),5)

答案A

解析设与直线x＋y－2eq\r(5)＝0平行的直线方程是x＋y＋c＝0(c≠－2eq\r(5))，

与椭圆方程联立，消元可得5x2＋8cx＋4c2－4＝0，

令Δ＝64c2－20(4c2－4)＝0，

可得c＝±eq\r(5)，

∴两条平行线间的距离为

eq\f(|±\r(5)＋2\r(5)|,\r(2))＝eq\f(\r(10),2)或eq\f(3\r(10),2)，

∴椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上的动点P到直线l：x＋y－2eq\r(5)＝0的距离的最小值是eq\f(\r(10),2).

3．直线y＝kx＋2与椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1有且只有一个交点，则k的值是()

A.eq\f(\r(6),3)B．－eq\f(\r(6),3)C．±eq\f(\r(6),3)D．±eq\f(\r(3),3)

答案C

解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，))

得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，

由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，

解得k＝±eq\f(\r(6),3).

4．已知椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()

A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－2

答案B

解析设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),36)＋\f(y\o\al(2,1),9)＝1，,\f(x\o\al(2,2),36)＋\f(y\o\al(2,2),9)＝1，))

两式相减，得eq\f(?x1＋x2??x1－x2?,36)＋eq\f(?y1＋y2??y1－y2?,9)＝0，

所以eq\f(2?x1－x2?,9)＝－eq\f(4?y1－y2?,9)，

所以以P为中点的弦所在直线的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2).

5．(多选)已知斜率为2的直线l经过椭圆C：eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是()

A．椭圆C的短轴长为2

B．椭圆C的离心率为eq\f(\r(5),5)

C．AB＝eq\f(5\r(5),3)

D．S△AOB＝eq\f(5,3)

答案BCD

解析∵椭圆C：eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1，

∴a＝eq\r(5)，b＝2，c＝1.

∴椭圆C的短轴长为2b＝4，故A错误；

又离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，故B正确；

依题意，F(－1,0)，直线l的方程为y＝2(x＋1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2?x＋1?，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))消去y，得3x2＋5x＝0，

∴x1＝0，x2＝－eq\f(5,3).

由已知x1，x2是A，B的横坐标，

∴AB＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|

＝eq\r(1＋22)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\