第30讲 y=sin(ωx+φ)的图象与性质（解析版）.docxVIP

第30讲y=sin(ωx+φ)的图象与性质

1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋

φ)(A＞0，

ω＞0)，x∈R

振幅

周期

频率

相位

初相

A

T＝eq\f(2π,ω)

f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)

_ωx＋φ_

_φ_

2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示：

x

eq\f(0－φ,ω)

eq\f(\f(π,2)－φ,ω)

eq\f(π－φ,ω)

eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)

eq\f(2π－φ,ω)

ωx＋φ

__0__

eq\f(π,2)

__π__

eq\f(3π,2)

__2π__

y＝Asin(ωx

＋φ)

0

A

0

－A

0

3、函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：

4、与三角函数奇偶性相关的结论

三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．常见的结论有：

(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．

(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．

(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．

1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

【解析】

因为向左平移个单位所得函数为，所以，

而显然过与两点，

作出与的部分大致图象如下，

考虑，即处与的大小关系，

当时，，；

当时，，；

当时，，；

所以由图可知，与的交点个数为.

故选：C.

2、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

因为在区间单调递增，

所以，且，则，，

当时，取得最小值，则，，

则，，不妨取，则，

则

3、【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sinωx+π3(ω0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若

A．16 B．14 C．13

【答案】C

【解析】

由题意知：曲线C为y=sinωx+π2+π

解得ω=13+2k,k∈Z，又ω0，故当k=0时，

故选：C.

4、【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sinωx+π3在区间

A．53,136 B．53,

【答案】C

【解析】

解：依题意可得ω0，因为x∈0,π，所以ωx+

要使函数在区间0,π恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，

则5π2ωπ+π3≤3π

故选：C．

5、【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω0)的最小正周期为T．若2π3Tπ

A．1 B．32 C．52

【答案】A

【解析】

由函数的最小正周期T满足2π3Tπ，得2π3

又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π

所以ω=?16+23

所以f(π

故选：A

6、【2021年乙卷理科】把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；

解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.

【详解】

解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，

根据已知得到了函数的图象，所以，

令,则,

所以,所以；

7、【2021年新高考1卷】下列区间中，函数单调递增的区间是（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

解不等式，利用赋值法可得出结论.

【详解】

因为函数的单调递增区间为，

对于函数，由，

解得，

取，可得函数的一个单调递增区间为，

则，，A选项满足条件，B不满足条件；

取，可得函数的一个单调递增区间为，

且，，CD选项均不满足条件.

故选：A.

1、为了得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象，可以将函数y＝sin2x的图象()

A．向右平移eq\f(π,6)个单位