第37讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版.docxVIP

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第37讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程（精讲）

题型目录一览

①直线的倾斜角与斜率

②直线的方程

③直线过定点的问题

④两直线的夹角公式

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、直线的倾斜角和斜率

1．直线的倾斜角

若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示

（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为

（2）倾斜角的取值范围

2．直线的斜率

设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为

（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率

（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）

（4）越大，直线越陡峭

（5）倾斜角与斜率的关系

当时，直线平行于轴或与轴重合；

当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；

当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；

3．过两点的直线斜率公式

已知直线上任意两点，，则

（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．

（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°

4．三点共线．

两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．

二、直线的方程

1．直线的截距

若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距

（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）

（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线

2．直线方程的五种形式

名称

方程

适用范围

点斜式

不含垂直于轴的直线

斜截式

不含垂直于轴的直线

两点式

不含直线和直线

截距式

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

平面直角坐标系内的直线都适用

【常用结论】

1.求曲线（或直线）方程的方法

在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

2．线段中点坐标公式

若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．

3．两直线的夹角公式

若直线与直线的夹角为，则.

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一直线的倾斜角与斜率

数形结合法

作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定

函数图象法

根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可

【典例1】已知点，，，点Q是线段AB上的动点．

(1)求直线PQ的斜率的范围；

(2)求直线PQ的倾斜角的范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）两点式求直线的斜率，数形结合判断直线PQ的斜率的范围即可；

（2）由（1）所得斜率范围，结合倾斜角范围确定直线PQ的倾斜角的范围.

【详解】（1）如下图，，，

则直线PQ的斜率范围为.

??

（2）令直线倾斜角为，而直线对应倾斜角分别为，

则直线PQ的倾斜角范围为.

【题型训练】

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可.

【详解】直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，

，所以.

故选：C.

2．（2023·全国·高三专题练习）如图，若直线的斜率分别为，则（????）

????

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.

【详解】解析??设直线的倾斜角分别为，

则由图知，

所以，

即．

故选：A

3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据斜率公式以及斜率的定义可得出关于的等式，解之即可.

【详解】由题意可知，直线的斜率为，解得.

故选：A.

4．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）若直线的倾斜角为，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据斜率的定义得，再利用二倍角公式及同角三角函数基本关系求解即可.

【详解】由斜率的定义有，所以，

故选：C.

5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由导数求切线斜率不范围，利用斜率和倾斜角的关系，求倾斜角的取值范围.

【详解】设切