《高等数学（第二版）》第8课 多元函数 教案.docxVIP

第8课多元函数

课题

多元函数

课时

3课时（135min）。

教学目标

知识技能目标：

1．了解多元函数。

2．通过学习与练习掌握二元函数的定义、极限与连续。

思政育人目标：

让学生通过学习多元函数，培养空间感、促成创造思维，建立空间想象和生活结合解决问题的指导思想。

教学重难点

教学重点：二元函数的定义、极限与连续、二元函数的微分学

教学难点：二重积分

教学方法

讲授法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学设计

第1节课：考勤（2min）--知识讲解（40min）--作业布置（3min）

第2节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

第3节课：知识讲解（40min）--课堂小结（3min）--作业布置（2min）

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

考勤

（2min）

■【教师】清点上课人数，记录好考勤

■【学生】班干部报请假人员及原因

培养学生的组织纪律性,掌握学生的出勤情况

知识讲解

（40min）

【教师】讲解二元函数的定义、极限与连续

一、空间直角坐标系

我们已经学过了平面直角坐标系，为了学习二元函数，我们引进空间直角坐标系.

过空间一点O作三条相互垂直的数轴OX，OY，OZ.这样，我们用右手系建立了空间直角坐标系.所谓右手系是指右手伸直，拇指朝上为OZ的正方向，其余四指指向为OX的正方向，四指弯曲90后指向为OY的正方向，如图8-1示.

点O称为坐标原点，三条直线分别称为X轴、Y轴、Z轴，每两条坐标轴确定一个平面，称为坐标平面，由X轴和Y轴确定的平面为XY平面，由Y轴和Z轴确定的平面为YZ平面，由X轴和Z轴确定的平面为XZ平面，三个坐标平面将空间分成8个部分，称为8个卦限.

对于空间内任一点M，过点M分别作垂直于三个坐标轴的平面，与三个坐标轴分别交于P，Q，R三点，设这三个点在轴上的坐标为a，b，c，这样点M便唯一确定了三个有序的实数a,b,c.反之,已知三个有序的实数a,b,c,则在空间中必有唯一确定的点M与它对应(图8-2).可见空间点M与有序数组(a,b,c)建立了一一对应关系,我们称a,b,c为点M的坐标,记为M(a,b,c).其中a叫作横坐标,b叫作纵坐标,c叫作竖坐标(或立坐标).

显然,原点O的坐标为(0,0,0),X轴上点P的坐标为(a,0,0),Y轴上点Q的坐标为(0,b,0),Z轴上点R的坐标为(0,0,c).设给定空间中任意两点A(x1,y1,x1)和B(x2,y2,x2),过A、B各点分别作三个平面垂直于三个坐标轴,这六个平面构成一个以线段AB为对角线的长方体,因此,AB的距离为

特别地,点A(x,y,x)到原点的距离为

二、二元函数的概念

在社会生活和经济活动中,经常遇到两个或多个变量的情形,如矩形面积S=xy,其中x0,y0,x,y分别表示矩形的长和宽,圆柱体的体积V=πR2h,其中R0,h0,分别表示圆柱体的底面半径和高.

定义1在某个变化过程中,有两个变量x和y,对变量x和y所取的任一组允许值,变量x按某一对应规律有唯一确定的值与之对应,则称x为x,y的二元函数,记作

z=f(x,y),

其中x,y称为自变量,z称为函数(或因变量).

与一元函数类似,使二元函数有意义的自变量x,y的集合,称为二元函数的定义域,记作D(f).

一元函数的定义域通常是X轴上的区间.而二元函数的定义域通常是XY平面上的某个区域.该区域一般是由平面上一条或几条曲线所围成的平面图形,通常用D表示.围成平面区域的曲线称为边界.包括边界在内的区域称为闭区域:不包括边界在内的区域称为开区域.可以无限延伸的区域称为无界区域:否则称为有界区域.

例求z=的定义域.

解要使函数有意义,必须

x?y

即

其定义域为图8-3所示的阴影部分的开区域.

我们知道,一元函数y=f(x)的图形是平面上的一条曲线,对于二元函数,我们可以利用空间直角坐标系来表示它的图形.

设二元函数x=f(x,y)的定义域为XY平面上某一区域D.对于D中的每一个点P(x,y),在空间可以对应出空间一个点M(x,y,x).当点P(x,y)在D中变动时,点M(x,y,x)在空间中相应变动.一般来说,它们的轨迹是空间中一张曲面,如图8-4所示.

三、二元函数的极限与连续

首先介绍平面上点M0(x0,y0)的δ邻域,在平面上点M0(x0,y0)的δ邻域是指以M0(x0,y0)为圆心,δ0为半径的圆的内部所有点构成的有界开区域,

即满足不等式δ