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随机变量及其分布

1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.

例如，掷一颗骰子面上出现的点数；

七月份徐州的最高温度；

每天从徐州下火车的人数；

昆虫的产卵数；

也就是说，把试验结果数值化.

2、在有些试验中，

但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.

试验结果看来与数值无关，

§1随机变量

例如

生男孩X=1

生女孩X=0

种子发芽X=1

种子不发芽X=0

事件A出现X=1

事件A不出现X=0

X具有两个特点

1、它是一个变量——

其随着试验结果的不同而取不同的值。

2、它具有随机性——

因试验结果的出现是随机的。

可见：随机变量是建立在随机试验的基础上的一个

概念，

引入后，事件可用随机变量来表示。

而表示随机变量所取的值时,

一般采用小写字母

等

随机变量通常用大写字母

X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示

X为一个随机变量，如果对于任意的实数x，集合

都是随机事件．

这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.

e.

X(e)

R

这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数

定义

设

是E的样本空间，

若对于每一个

有一个实数

和它对应

为随机变量。

则称

一样吗？

为了区别不同的随机变量，

也可用Y、Z来表示。

引入随机变量的目的是为了便于以数量形式全面

地研究随机试验的全部结果的概率分布情况，

及其

他的特征。

所以要完全刻化随机变量必须知道下列

两方面的问题。

1、随机变量能取什么样的值。

（取值范围）

2、随机变量以多大的概率取这些值。

（概率分布）

3、奇异型（混合型）随机变量

三、随机变量的分类：

1、离散型随机变量

2、连续性随机变量

按X的取值情况，

X所有可能值（有限、无限）是可以一、一列举的。

X所有可能值是

不可一、一列举的。

内的一个区间。

如一批灯泡中，任取一只测其寿命X。

若事件寿命小于5小时，可表示为

可以将其分为三类：（主要研究）

x1,x2,…,

§2.2离散型随机变量及其分布律

这种随机变量称为离散型随机变量

定义

设X是一个随机变量，

如果它可能取的值是

有限个或可列无限多个

定义

若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些

值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型

随机变量，而称

为X的分布律或概率分布。

列表法

一、离散型随机变量分布律的定义

2.分布律的性质

（非负性）

（归一性）

给定了

我们就能很好的描述X.

即已知X取什么值，以及以多大的概率取这些值。

从盒中任取3个球

取到的白球数X是一个随机变量

X可能取的值是0,1,2

例1设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从中任

取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。

(一)(0-1)分布（二点分布）

随机变量X只取0与1两个值,它的分布律是

2.3常用的离散型随机变量

分布律

二点分布非常有用，

如检查产品质量是否合格、

电路“通、断”等。

掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”

新生儿：“是男孩”，“是女孩”

抽验产品：“是正品”，“是次品”

一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：

A或

或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.

设生男孩的概率为p,生女孩的概率为

女

男

X=0

X=1

令X表示随机抽查出生的1个婴儿中“男孩”的个数.

则

例2

将一枚均匀硬币抛掷1次，

则X的分布律是：

反面

正面

X=0

X=1

“正面”的次数

令X表示1次中出现

例3

例4100件相同的产品中有4件次品和96件正品，

现从中任取一件，

解

求取得正品数X的分布律。

伯努里试验：

即在试验E的样本空间S只有两个基本事件

有一类十分广泛存在的只有相互对立的两个结果

我们称这只有两个对立的试验结果的试验为

的试验。

且每次试验中

例如：

试验“成功”、“失败”。

种子“发芽”、“不发芽”

生“男孩”、“女孩”

考试“及格”、“不及格”

产品“合格”、“不合格”

买彩票“中奖”、“不中奖”

伯努里试验。

二项分布

(二)

四.伯努里试验：

设在一次试验中事件A发生的概率为

则在n重伯努利试验中事件A恰好发生

次的概率

为

证:设

事件A在n次试验中发生了X次

伯努里定理

设在试验E中事件A发生的概率为p，

现将E重复

独立的进行n次，

称这n次试验为n重伯努里试验

在n重贝努利试验中，

事件A正好出现k次的概率有

一个一般的求法。

由于n次试验是相互独立的，事件

A发生