第04讲 指数与指数函数（八大题型）（练习）（解析版）.docxVIP

第04讲指数与指数函数

目录

TOC\o1-2\h\z\u模拟基础练 2

题型一：指数幂的运算 2

题型二：指数函数的图象及应用 3

题型三：指数函数过定点问题 5

题型四：比较指数式的大小 6

题型五：解指数方程或不等式 7

题型六：指数函数的最值与值域问题 8

题型七：指数函数中的恒成立问题 9

题型八：指数函数的综合问题 11

重难创新练 15

真题实战练 24

题型一：指数幂的运算

1．已知，计算：.

【解析】因为，所以，所以，

所以，所以，即，

所以，所以.

2．.

【答案】

【解析】.

故答案为：.

3．化简求值:

(1)；

(2)．

【解析】（1）

；

（2）

=

题型二：指数函数的图象及应用

4．若函数与函数的图象关于直线对称，则的大致图象是（????）

A．?? B．????

C．?? D．??

【答案】A

【解析】由题意函数与函数互为反函数，

所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点，

对比选项可知A符合题意.

故选：A.

5．要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数，

要使图象不经过第一象限，则，解得.

故选：B.

6．当时，函数（，且）的图象恒在函数的图象下方，则a的取值范围为.

【答案】

【解析】由题意，得当时不等式恒成立，即，令，，分类讨论和两种情况，并在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，由图像得到关于a的不等式，解不等式得解由题意，得当时不等式恒成立，即，

令，，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，

当时，如图所示，

由图可知，，恒成立，故不满足题意；

当时，如图所示，

由图可知，要，恒成立，需，即，解得，故

综上可知：a的取值范围是.

7．设、分别是方程与的根，则.

【答案】

【解析】如图，分别作出函数，，的图象，

且函数与、分别相交于点，.

由题意，．而与互为反函数，

直线与直线互相垂直，所以点与关于直线对称.

所以.所以.

故答案为：.

题型三：指数函数过定点问题

8．已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是.

【答案】

【解析】在函数中，当，即时，，

所以点P的坐标是.

故答案为：

9．对且的所有正实数，函数的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是．

【答案】

【解析】由函数，当时，可得，

所以该函数恒经过定点.

故答案为：.

10．已知函数（，）恒过定点，则函数的图像不经过第象限.

【答案】二

【解析】由已知条件得当时，，则函数恒过点，

即，此时，

由于由向下平移五个单位得到，且过点，

由此可知不过第二象限，

故答案为：二.

11．已知常数且，假设无论a取何值，函数的图像恒过定点，且点的横坐标为．又已知常数且，假设无论b取何值，函数的图像恒过定点，则点的坐标为．

【答案】

【解析】由对数函数过定点可知：函数的图像恒过定点，

则有，又因为指数函数的图像恒过定点，

所以点的坐标为，

故答案为：.

题型四：比较指数式的大小

12．若，则（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵指数函数在上单调递增，

且，

∴，即.

∵幂函数在上单调递增，且，

∴，即，

∴.

故选：A.

13．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，求导得，

当时，，则在上单调递减，

则，即，而，于是，

所以.

故选：D

14．已知，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】，

因为，故即，故.

因为，

所以，所以.

故选：C.

题型五：解指数方程或不等式

15．方程的解为．

【答案】

【解析】因为，

所以，即，

所以.

故答案为：.

16．方程的解为．

【答案】

【解析】因为且，由指数函数的图象和性质可知：当时，恒大于等于1，所以要使方程有解，

则有解得：，，所以原方程的解为，

故答案为：.

17．不等式的解集是.

【答案】

【解析】．

故答案为：．

18．设，则关于x的不等式的解集是.

【答案】

【解析】因为，且，则根据指数函数的单调性可知，，解得，所以不等式的解集为.

故答案为：

题型六：指数函数的最值与值域问题

19．函数的最大值是．

【答案】9

【解析】由题可知：，所以

又指数函数为R上的增函数，所以的最大值为

故答案为：9

20．函数的最小值是.

【答案】

【解析】令t=2x，x∈[0，2]，则